Page 70 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

1.4 奇函数和偶函数

一些函数具有对称性, 这便于对它们进行讨论. 考虑定义为 f (x) = x 2

的函数 f , 任选一个正数 (我选 3) 作用于函数 f (得到 9). 现在取该数

的负值, 由我选择的数可得 -3, 将其作用于函数 f (又得到 9). 不论你

选择的是几, 应该跟我一样, 两次得到了相同的值. 你可将这种现象表

示为, 对所有的 x, 有 f (-x) = f (x). 也就是说, 将 x 作为 f 的输入和

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将 -x 作为输入, 会得到一样的结果. 注意到 g(x) = x 和 h(x) = x 6

同样具有这种性质. 事实上, 当 n 是偶数时 (n 可以是负数), j(x) = x n

具有相同的性质. 受以上讨论的启发, 我们说, 如果对 f 定义域里的所

有 x 有 f (-x) = f (x), 则 f 是偶函数. 这个等式对某些 x 值成立是不

够的, 它必须对定义域里的所有x 都成立.

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现在, 我们对函数 f (x)= x 做相同的讨论. 选择你喜欢的任一正数

(我仍选 3) 作用于 f (得到 27). 用你选的数的负值再试一遍, 我的数

的负值是 -3, 得到 -27, 你同样应该得到先前结果的负值. 可以用数学

方式将其表示为 f (-x) = -f (x). 同样地, 当 n 是奇数时 (n 可以是负

n
数), j(x) = x 具有相同的性质. 因此我们说, 当对 f 定义域内所有 x

都有 f (-x) = -f (x) 时, f 是奇函数.