Page 33 - E-MODUL MEKANIKA ANALITIK

Formulasi Lagrange memiliki dua keunggulan penting dibandingkan milik
Newton, yaitu:

➢ Persamaan Lagrange memiliki bentuk yang sama dalam sistem
koordinat manapun, tidak seperti Newton.

➢ Dalam menyelesaikan sistem yang dibatasi (constrained), pendekatan
Lagrangian mengabaikan gaya constraint

UNCONSTRAINED MOTION

UNCONSTRAINED MOTION

Untuk membuktikan bahwa persamaan Lagrange setara dengan Hukum II

Newton, dilakukan pertimbangan sebuah partikel yang bergerak
unconstrained dalam koordinat tiga dimensi (x, y, z) tunduk pada gaya bersih
konservatif F(r). Sehingga, energi kinetiknya adalah:

1 2 1 2 1 2 2 2
̇
= = = ( + + ), (1)
̇
̇
̇
2 2 2
dan energi potensialnya adalah:
= ( ) = ( , , ). (2)

Fungsi Lagrangian didefinisikan sebagai:

ℒ = − . (3)

Persamaan (3) tidak sama dengan energi total. Lagrangian ℒ bergantung

pada posisi partikel ( , , ) dan kecepatannya ( , , ); sehingga ℒ =
̇
̇
̇
ℒ( , , , , , ).
̇
̇
̇

33