Page 35 - E-MODUL MEKANIKA ANALITIK

Sejauh ini, kita telah membuktikan untuk satu partikel yang diikuti oleh tiga
pernyataan adalah tepat sama dengan:

⃗
1. Lintasan partikel yang ditentukan oleh Hukum II Newton = .
2. Lintasan yang ditentukan dengan ketiga persamaan Lagrange (7),
setidaknya dalam koordinat kartesius.

3. Lintasan yang ditentukan dengan prinsip Hamilton.

Sebagai ganti dari koordinat kartesius ⃗ = ( , , ), kita dapat menggunakan
koordinat lain seperti koordinat polar ( , , ∅) atau silinder polar ( , ∅, )

ataupun berbagai kumpulan “koordinat umum” , , , dengan ciri bahwa
2
3
1
setiap posisi ⃗ menentukan hasil yang khas dari ( , , ) dan sebaliknya;
2
3
1
yaitu,
= ( ⃗) untuk = 1, 2, 3, (9)

dan

⃗ = ⃗( , , ). (10)
3
2
1
Kedua persamaan tersebut menjamin bahwa apapun nilai ⃗ = ( , , ),
terdapat ( , , ) yang khas dan sebaliknya. Menggunakan (10), dapat
3
2
1
dituliskan kembali ( , , ) dan ( , , ) dalam ( , , ) dan ( ̇ , ̇ , ̇ ).
̇
̇
̇
2
1
2
3
3
1
1
Selanjutnya, dapat dituliskan kembali juga Lagrangian ℒ = − ( ⃗)
2
̇
2
dalam variabel baru seperti di bawah ini
ℒ = ℒ( , , , ̇ , ̇ , ̇ )
3
3
1
1
2
2
dan integral aksinya menjadi
2
= ∫ ℒ( , , , ̇ , ̇ , ̇ ) .
1
2
3
1
3
2
1
Hasil dari integral S tidak berubah dengan pergantian variabel tersebut. Oleh
karena itu, pernyataan bahwa S stasioner untuk variasi lintasan selama
lintasan benar pasti benar dalam sistem koordinat baru.
35