Page 36 - E-MODUL MEKANIKA ANALITIK

Lintasan yang benar pasti memenuhi ketiga persamaan Euler-Lagrange,

ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ
= , = , dan = , (11)
̇ ̇ ̇
1 1 2 2 3 3
Karena koordinat baru tersebut merupakan berbagai kumpulan dari
koordinat umum, kualifikasi “koordinat kartesius” bisa dihapusnya dari

pernyataan (2) di atas. Hasilnya, persamaan Lagrange memiliki bentuk yang
sama dengan koordinat umum apa pun, salah satu dari dua alasan utama

bahwa bentuk Lagrangian sangat berguna.

Lagrangian untuk satu partikel dalam dua dimensi adalah

1
ℒ = ℒ( , , , , , ) = − = ( + ) − ( , ). (12)
2
2
̇
̇
̇
̇
̇
2
Dibutuhkan turunan dari Lagrangian
ℒ ℒ
= − = dan = = (13)
̇

̇ ̇
dengan ekspresi yang sesuai untuk turunan y. Demikianlah kedua Lagrange
tersebut persamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:

ℒ ℒ
̈
= ⇔ =
̇
⃗
⇔ =m (14)
⃗
ℒ ℒ
̈
= ⇔ =

̇

36