Page 34 - E-MODUL MEKANIKA ANALITIK

Kedua turunannya menjadi,

ℒ
= − = (4)

dan

ℒ
= = = (5)
̇
̇ ̇
Menurunkan persamaan kedua dengan memperhatikan waktu dan mengingat

Hukum II Newton, = , sehingga dapat dituliskan menjadi:
̇

ℒ ℒ
= (6)
̇
Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan persamaan dalam y dan z
sesuai. Walaupun, kita harus menunjukkan bahwa Hukum II Newton

menyiratkan tiga persamaan Lagrange (sejauh ini pada koordinat kartesius):

ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ
= , = , dan = (7)
̇ ̇ ̇

Sehingga, untuk satu partikel dalam koordinat kartesius, Hukum II Newton
tepat setara dengan ketiga persamaan Lagrange (7). Lintasan partikel yang

ditentukan menggunakan Hukum II Newton sama dengan lintasan yang
ditentukan menggunakan ketiga persamaan Lagrange.

Langkah selanjutnya adalah untuk mengenali ketiga persamaan (7) memiliki
bentuk yang sama dengan persamaan Euler-Lagrange dengan mengulang

kembali prinsip Hamilton

HAMILTON’S PRINCIPLE

Lintasan sesungguhnya yang partikel ikuti di antara dua titik 1 dan 2 pada
batas waktu yang diberikan, ke , seperti integral aksi (the action
1
2
integral)

= ∫ ℒ (8)
2
1
stasioner ketika dibawa di sepanjang lintasan.

34