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144 MÉTODOS ABIERTOS

Empezando con un valor inicial x = 0, se aplica esta ecuación iterativa para calcular
0

i x i e a (%) e t (%)
0 0 100.0
1 1.000000 100.0 76.3
2 0.367879 171.8 35.1
3 0.692201 46.9 22.1
4 0.500473 38.3 11.8
5 0.606244 17.4 6.89
6 0.545396 11.2 3.83
7 0.579612 5.90 2.20
8 0.560115 3.48 1.24
9 0.571143 1.93 0.705
10 0.564879 1.11 0.399

De esta manera, se puede observar que cada iteración se acerca cada vez más al valor
aproximado al valor verdadero de la raíz: 0.56714329.

6.1.1 Convergencia

Note que el error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemplo 6.1 es pro-
porcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad, co-
nocida como convergencia lineal, es característica de la iteración simple de punto fijo.
Además de la “velocidad” de convergencia, en este momento debemos enfatizar la
“posibilidad” de convergencia. Los conceptos de convergencia y divergencia se pueden
ilustrar gráficamente. Recuerde que en la sección 5.1 se graficó una función para visua-
lizar su estructura y comportamiento (ejemplo 5.1). Ese método se emplea en la figura
–x
6.2a para la función f(x) = e – x. Un método gráfico alternativo consiste en separar la
ecuación en dos partes, de esta manera
f (x) = f (x)
1
2
Entonces las dos ecuaciones
y = f (x) (6.3)
1
1
y
y = f (x) (6.4)
2
2
se grafican por separado (figura 6.2b ). Así, los valores de x correspondientes a las in-
tersecciones de estas dos funciones representan las raíces de f(x) = 0.

EJEMPLO 6.2 El método gráfi co de las dos curvas

–x
Planteamiento del problema. Separe la ecuación e – x = 0 en dos partes y deter-
mine su raíz en forma gráfica.
–x
Solución. Reformule la ecuación como y = x y y = e . Al tabular las funciones se
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1
obtienen los siguientes valores:

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