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6.1 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO 143

6.1 ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO

Como se dijo antes, los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta
fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada
iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), al arreglar la ecua-
ción f(x) = 0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación:

x = g(x) (6.1)

Esta transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente suman-
do x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo,
2
x – 2x + 3 = 0
se arregla para obtener

2
x + 3
x = ––––––
2

mientras que sen x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuación (6.1) sumando x
a ambos lados para obtener

x = sen x + x

La utilidad de la ecuación (6.1) es que proporciona una fórmula para predecir un
nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un valor inicial
para la raíz x , la ecuación (6.1) se utiliza para obtener una nueva aproximación x ,
i
i+1
expresada por la fórmula iterativa
x = g(x ) (6.2)
i+1
i
Como en otras fórmulas iterativas de este libro, el error aproximado de esta ecuación se
calcula usando el error normalizado [ecuación (3.5)]:

x − x
ε = i+1 i 100%
a
x
i+1
EJEMPLO 6.1 Iteración simple de punto fi jo

Planteamiento del problema. Use una iteración simple de punto fijo para localizar
–x
la raíz de f(x) = e – x.
Solución. La función se puede separar directamente y expresarse en la forma de la
ecuación (6.2) como
x i + l = e –xi

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