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164 MÉTODOS ABIERTOS

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y = 57 – 3(–0.20910)(–24.37516) = 429.709
En efecto, la aproximación se está descomponiendo.
Ahora repita el cálculo, pero con la ecuación original puesta en una forma diferen-
te. Por ejemplo, un despeje alternativo de la ecuación (6.16a) es
x = 10 – xy
y de la ecuación (6.16b) es

y = 57 – y
x 3
Ahora los resultados son más satisfactorios:

x = 10 1 5 3 5–. ( . ) = 2 17945.
y = 57 3 5–. = 2 86051.
3 2 17945(. )

x = 10 2 17945 2 86051–. ( . ) = 1 94053.
y = 57 2 86051–. = 3 04955.
3 1 940553(. )

Así, la aproximación converge hacia la solución correcta x = 2 y y = 3.

El ejemplo anterior ilustra la más seria desventaja de la iteración simple de punto
fijo, ésta es que, la convergencia depende de la manera en que se formula la ecuación.
Además, aun cuando la convergencia es posible, la divergencia puede ocurrir si los va-
lores iniciales no son suficientemente cercanos a la solución verdadera. Usando un ra-
zonamiento similar al del cuadro 6.1, se demuestra que las condiciones suficientes para
la convergencia en el caso de dos ecuaciones son
∂u ∂v
+ < 1
∂x ∂x
y
∂u ∂v
+ < 1
∂y ∂y

Estos criterios son tan restringidos que el método de punto fijo tiene una utilidad limi-
tada para resolver sistemas no lineales. Sin embargo, como se describirá más adelante
en el libro, será muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

6.5.2 Newton-Raphson
Recuerde que el método de Newton-Raphson se utilizó empleando la derivada (al evaluar,
es la pendiente de la recta tangente) de una función, para calcular su intersección con el

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