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6.4 RAÍCES MÚLTIPLES 159

x = 1 f(x ) = –0.63212
0
0
x + dx = 1.01 f(x + dx ) = –0.64578
0
0
0
0
0 01 0 63212.(– . )
x = 1 – –. 0 63212) = 0.537263 ⏐e ⏐ = 5.3%
1
t
0 64578 – (–.
Segunda iteración:
x = 0.537263 f(x ) = 0.047083
0
0
x + dx = 0.542635 f(x + dx ) = 0.038579
0
0
0
0
0 005373 0 047083. ( . )
x = 0.537263 – = 0.56701 ⏐e ⏐ = 0.0236%
t
1
0 038579 0 0047083. – .
Tercera iteración:
x = 0.56701 f(x ) = 0.000209
0
0
x + dx = 0.567143 f(x + dx ) = –0.00867
0
0
0
0
0 00567 0 000209. ( . )
–5
x = 0.56701 – = 0.567143 ⏐e ⏐ = 2.365 × 10 %
1
t
–.
0 00867 0 000209– .
La elección de un valor adecuado para d no es automática. Si d es muy pequeño, el
método puede no tener éxito por el error de redondeo, causado por la cancelación por
resta en el denominador de la ecuación (6.8). Si ésta es muy grande, la técnica puede
llegar a ser ineficiente y hasta divergente. No obstante, si se selecciona correctamente,
proporciona una adecuada alternativa en los casos donde la evaluación de la derivada se
dificulta y el desarrollo de dos valores iniciales es inconveniente.
6.4 RAÍCES MÚLTIPLES
Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por
ejemplo, una raíz doble resulta de
f(x) = (x – 3)(x – 1)(x – 1) (6.9)
3
2
o, multiplicando términos, f(x) = x – 5x + 7x – 3. La ecuación tiene una raíz doble porque
un valor de x hace que dos términos de la ecuación (6.9) sean iguales a cero. Gráficamen-
te, esto significa que la curva toca en forma tangencial al eje x en la raíz doble. Observe la
figura 6.l0a en x = 1. Note que la función toca al eje pero no la cruza en la raíz.
Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x hace que tres términos en
una ecuación sean iguales a cero, como en

f(x) = (x – 3)(x – l)(x – 1)(x – 1)
3
2
4
o, multiplicando los términos, f(x) = x – 6x + 12x – 10x + 3. Advierta que la represen-
tación gráfica (figura 6.10b) indica otra vez que la función es tangente al eje en la raíz,
pero que en este caso sí cruza el eje. En general, la multiplicidad impar de raíces cruza

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