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166 MÉTODOS ABIERTOS

u ∂ ∂v
v i i – u i i
y i + 1 = y – u ∂ x ∂ u ∂ x ∂ (6.21b)
i
i ∂v i – i ∂v i
x ∂ y ∂ y ∂ x ∂

El denominador de cada una de esas ecuaciones se conoce formalmente como el deter-
minante Jacobiano del sistema.
La ecuación (6.21) es la versión para dos ecuaciones del método de Newton-Raph-
son. Como en el siguiente ejemplo, se puede emplear en forma iterativa para determinar
las raíces de dos ecuaciones simultáneas.

EJEMPLO 6.11 Newton-Raphson para un sistema no lineal

Planteamiento del problema. Con el método de Newton-Raphson para múltiples
ecuaciones determine las raíces de la ecuación (6.16). Observe que un par correcto de
raíces es x = 2 y y = 3. Use como valores iniciales x = 1.5 y y = 3.5.

Solución. Primero calcule las derivadas parciales y evalúelas con los valores iniciales
de x y y:
∂u ∂u 0
0 = x + = 2 15(. ) + 35. = 65. = x = 15.
y
2
∂x ∂y
∂v ∂v 0
16
16xy
0 = 3y 2 = 3 3 5(. ) 2 = 36 75. =+ =+ 1 5 3 5( . )( . ) = 32 5.
∂x ∂y
Así, el determinante jacobiano para la primera iteración es
6.5(32.5) – 1.5(36.75) = 156.125
Los valores de las funciones se evalúan con los valores iniciales como
2
u = (1.5) + 1.5(3.5) – 10 = –2.5
0
2
v = 3.5 + 3(1.5)(3.5) – 57 = 1.625
0
Estos valores se sustituyen en la ecuación (6.21):
–. (2 5 32 . ) – .5 1 625 ( . )1 5
x = 1.5 – = 2.03603
156 .125

1 625 6 5. ( .) – (− 2 5 36 75.)( . )
y = 3.5 – = 2.84388
156 125.
Así, los resultados están convergiendo a los valores verdaderos x = 2 y y = 3. Los cálcu-
los se repiten hasta que se obtenga una precisión aceptable.

Como con el método de iteración de punto fijo, la aproximación de Newton-Raphson
puede diverger si los valores iniciales no están lo suficientemente cercanos a la raíz

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