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160 MÉTODOS ABIERTOS

el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en
f (x) la figura 6.10c no cruza el eje.
4 Raíz Las raíces múltiples ofrecen algunas dificultades a muchos de los métodos numé-
doble ricos expuestos en la parte dos:
0 1. El hecho de que la función no cambie de signo en raíces múltiples pares impide con-
x
1 3 fi arse de los métodos cerrados, que se analizan en el capítulo 5. Así, en los métodos
incluidos en este texto, se está limitando a los abiertos que pueden ser divergentes.
–4
2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no sólo f(x), sino también
a)
ƒ′(x) se aproxima a cero en la raíz. Tales problemas afectan los métodos de Newton-
f (x) Raphson y de la secante, los cuales contienen derivadas (o su aproximación) en el
denominador de sus fórmulas respectivas. Esto provocará una división entre cero
4 Raíz
triple cuando la solución converge muy cerca de la raíz. Una forma simple de evitar dichos
problemas, que se ha demostrado teóricamente (Ralston y Rabinowitz, 1978), se
0 x basa en el hecho de que f(x) siempre alcanzará un valor cero antes que ƒ′(x). Por lo
1 3
tanto, si se compara f(x) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se
pueden terminar antes de que ƒ′(x) llegue a cero.
–4
3. Es posible demostrar que el método de Newton-Raphson y el método de la secante
b)
convergen en forma lineal, en vez de cuadrática, cuando hay raíces múltiples (Ralston
f (x) y Rabinowitz, 1978). Se han propuesto algunas modifi caciones para atenuar este
4 Raíz problema. Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se realice un pequeño cambio
cuádruple en la formulación para que se regrese a la convergencia cuadrática, como en

0 f(x )
i
x x i + 1 = x – m ——— (6.9a)
i
1 3 ƒ′(x )
i
–4 donde m es la multiplicidad de la raíz (es decir, m = 2 para una raíz doble, m = 3 para
c) una raíz triple, etc.). Se trata de una alternativa poco satisfactoria, porque depende
del conocimiento de la multiplicidad de la raíz.
FIGURA 6.10 Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), consiste en de-
Ejemplos de raíces múltiples finir una nueva función u(x), que es el cociente de la función original entre su derivada:
que son tangenciales al eje
x. Observe que la función no f(x)
cruza el eje en los casos de u(x) = ——– (6.10)
ƒ′(x)
raíces múltiples pares a) y c),
mientras que con multiplici- Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posiciones que la función
dad impar sí lo hace en b). original. Por lo tanto, la ecuación (6.10) se sustituye en la ecuación (6.6) para desarrollar
una forma alternativa del método de Newton-Raphson:
u(x )
i
x i + 1 = x – ——— (6.11)
i
u′(x i )
Se deriva con respecto a x la ecuación (6.10) para obtener
ƒ′(x)ƒ′(x) – f(x)ƒ″(x)
u′(x) = —————————— (6.12)
[ƒ′(x)] 2
Se sustituyen las ecuaciones (6.10) y (6.12) en la ecuación (6.11) y se simplifica el resul-
tado:

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