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162 MÉTODOS ABIERTOS

i Estándar e t (%) Modifi cado e t (%)
0 4 33 4 33
1 3.4 13 2.636364 12
2 3.1 3.3 2.820225 6.0
3 3.008696 0.29 2.961728 1.3
4 3.000075 0.0025 2.998479 0.051
5 3.000000 2 × 10 –7 2.999998 7.7 × 10 –5

De esta forma, deberá notar que, ambos métodos convergen con rapidez, aunque el
método estándar es el más eficiente.

En el ejemplo anterior se ilustran los factores de mayor importancia involucrados
al elegir el método de Newton-Raphson modificado. Aunque es preferible para raíces
múltiples, es menos eficiente y requiere más trabajo computacional que el método es-
tándar para raíces simples.
Se debe notar que hay manera de desarrollar una versión modificada del método de
la secante para raíces múltiples, sustituyendo la ecuación (6.10) en la ecuación (6.7). La
fórmula resultante es (Ralston y Rabinowitz, 1978)
ux()( x i – 1 – x )
i
i
x i + 1 = x –
i
ux(
i – 1 ) – ux( )
i
6.5 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
Hasta aquí nos hemos ocupado de determinar las raíces de una sola ecuación no lineal.
Un problema relacionado con éste consiste en obtener las raíces de un conjunto de ecua-
ciones simultáneas,
f (x , x ,..., x ) = 0
n
2
1
1
f (x , x ,..., x ) = 0
1
n
2
2
. .
. . (6.14)
. .
f (x , x ,..., x ) = 0
n
2
1
n
La solución de este sistema consta de un conjunto de valores x que simultáneamente
i
hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero.
En la parte tres, presentaremos los métodos, para el caso en que las ecuaciones si-
multáneas son lineales, es decir, que se puedan expresar en la forma general
f(x) = a x + a x + ··· + a x – b = 0 (6.15)
2 2
n n
1 1
donde la b y las a son constantes. A las ecuaciones algebraicas y trascendentes que no
se pueden expresar de esta forma se les llama ecuaciones no lineales. Por ejemplo,
2
x + xy = 10
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