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6.4 RAÍCES MÚLTIPLES 161

i
i
x = x – fx f x() ′()
i + 1 i 2
f x f ′′( )
fx ] – ( ) x i (6.13)
′ [ ()
i
EJEMPLO 6.9 Método de Newton-Raphson modifi cado para el cálculo de raíces múltiples
Planteamiento del problema. Con los dos métodos, el estándar y el modificado, de New-
ton-Raphson evalúe la raíz múltiple de la ecuación (6.9), use un valor inicial de x = 0.
0
2
Solución. La primera derivada de la ecuación (6.9) es ƒ′(x) = 3x – 10x + 7, y por lo
tanto, el método de Newton-Raphson estándar para este problema es [ecuación (6.6)]
3
x – x 5 2 + x 7 – 3
x i + 1 = x – i 2 i i
i
x 3 1 – 10 x + 7
i
que se resuelve iterativamente para obtener
i x i e t (%)
0 0 100
1 0.4285714 57
2 0.6857143 31
3 0.8328654 17
4 0.9133290 8.7
5 0.9557833 4.4
6 0.9776551 2.2

Como ya se había anticipado, el método converge en forma lineal hacia el valor verda-
dero 1.0.
Para el caso del método modificado, la segunda derivada es ƒ″(x) = 6x – 10, y en
consecuencia la ecuación iterativa será [ecuación (6.13)]

(x 3 – x5 2 + x 7 – )( x3 3 2 –10 x + ) 7
x = x – 2 i i 2 i 3 2 i i
i
i+1
( x3 i –10 x + 7 ) – (x i – x5 i + x 7 i – )( x3 6 i – 10 )
i
que se resuelve para obtener
i x i e t (%)
0 0 100
1 1.105263 11
2 1.003082 0.31
3 1.000002 0.00024

De esta manera, la fórmula modificada converge en forma cuadrática. Se pueden
usar ambos métodos para buscar la raíz simple en x = 3. Con un valor inicial x = 4 se
0
obtienen los siguientes resultados:

6/12/06 13:49:53
Chapra-06.indd 161 6/12/06 13:49:53
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