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6.5 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 165

eje de la variable independiente; esto es, la raíz (figura 6.5). Dicho cálculo se basó en la
expansión de la serie de Taylor de primer orden (recuerde el cuadro 6.2),
) = f(x ) + (x – x ) ƒ′(x ) (6.17)
f(x i + 1 i i+1 i i

donde x es el valor inicial de la raíz y x es el valor en el cual la recta tangente inter-
i+1
i
secta el eje x. En esta intersección, f(x i + 1 ) es, por definición, igual a cero y la ecuación
(6.17) se reordena para tener
f(x )
i
x i + 1 = x – ——– (6.18)
i
ƒ′(x )
i
que es la forma del método de Newton-Raphson para una sola ecuación.
La forma para múltiples ecuaciones se obtiene en forma idéntica. Sin embargo, se
debe usar una serie de Taylor de múltiples variables para tomar en cuenta el hecho de
que más de una variable independiente contribuye a la determinación de la raíz. En el
caso de dos variables, una serie de Taylor de primer orden se escribe [recuerde la ecua-
ción (4.26)] para cada ecuación no lineal como
∂u ∂u
u i + 1 = u + (x – x ) i + (y i + 1 – y ) i (6.19a)
i
i
i+1
i
∂x ∂y
y
∂v ∂v
v i + 1 = v + (x – x ) i + (y – y ) i (6.19b)
i
i
i+1
i
i+1
∂x ∂y
De la misma manera como en la versión para una sola ecuación, la raíz aproximada
corresponde a los valores de x y y, donde u y v son iguales a cero. En tal situación,
i+1
i+1
se reordena la ecuación (6.19) como:
∂u ∂u ∂u ∂u
i x + i y = u + x i + y i (6.20a)
–
∂x + i 1 ∂y + i 1 i i ∂x i ∂y
∂v ∂v ∂v ∂v
i x + i y = v + x i + y i (6.20b)
–
∂x i + 1 ∂y i + 1 i i ∂x i ∂y
Debido a que se conocen todos los valores con subíndice i (corresponden al último valor
estimado), las únicas incógnitas son x y y . Entonces, la ecuación (6.20) es un con-
i+1
i+1
junto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas [compare con la ecuación (6.15)].
En consecuencia, se pueden usar manipulaciones algebraicas (por ejemplo, la regla de
Cramer) para resolverlo:
∂v u ∂
u i – v i
i y ∂ i y ∂
x i + 1 = x – u ∂ i ∂v i u ∂ i ∂v i (6.21a)
i
x ∂ y ∂ – y ∂ x ∂

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