Page 187 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

6.5 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 163

y
2
y + 3xy = 57
son dos ecuaciones simultáneas no lineales con dos incógnitas, x y y, las cuales se ex-
presan en la forma de la ecuación (6.14) como
2
u(x, y) = x + xy – 10 = 0 (6.16a)
2
v(x, y) = y + 3xy – 57 = 0 (6.16b)
Así, la solución serían los valores de x y de y que hacen a las funciones u(x, y) y v(x, y)
iguales a cero. La mayoría de los métodos para determinar tales soluciones son exten-
siones de los métodos abiertos para resolver ecuaciones simples. En esta sección presen-
taremos dos de ellos: iteración de punto fijo y Newton-Raphson.
6.5.1 Iteración de punto fi jo

El método de iteración de punto fijo (sección 6.1) puede modificarse para resolver dos
ecuaciones simultáneas no lineales. Este método se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 6.10 Iteración de punto fi jo para un sistema no lineal

Planteamiento del problema. Con el método de iteración de punto fijo determine las
raíces de la ecuación (6.16). Observe que un par correcto de raíces es x = 2 y y = 3.
Inicie el cálculo con el valor inicial x = 1.5 y y = 3.5.

Solución. En la ecuación (6.l6a) se despeja x
10 – x 2
x i + 1 1 (E6.10.1)
=
y
i
y en la ecuación (6.16b) se despeja y
y i + l = 57 – 3x y 2 (E6.10.2)
i i
Observe que dejaremos los subíndices en el resto del ejemplo.
Con base en los valores iniciales, la ecuación (E6.10.1) se utiliza para determinar
un nuevo valor de x:
10 –( 1 5. ) 2
x = = 2.21429
35.
Este resultado y el valor inicial de y = 3.5 se sustituye en la ecuación (E6.10.2) para
determinar un nuevo valor de y:

2
y = 57 – 3(2.21429)(3.5) = –24.37516
Así, parece que el método diverge. Este comportamiento es aún más pronunciado en la
segunda iteración:

10 –( 2 21429. ) 2
x = = –0.20910
24 37516
–.

6/12/06 13:49:53
Chapra-06.indd 163 6/12/06 13:49:53
Chapra-06.indd 163