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7.1 POLINOMIOS EN LA CIENCIA Y EN LA INGENIERÍA 171

ecuación a partir de un sistema físico ayuda a motivarlo en el estudio de las matemáticas,
puede leer con atención la sección 8.4 antes de continuar.
Además, se debe observar que la ecuación (7.2) puede expresarse en forma alterna-
tiva transformándola en un par de EDO de primer orden, mediante la definición de una
nueva variable z,

z = dy (7.3)
dt

La ecuación (7.3) se sustituye con su derivada en la ecuación (7.2) para eliminar el tér-
mino de la segunda derivada. Esto reduce el problema a resolver

−
dz Ft −() a z a y
= 1 0 (7.4)
dt a
2
dy
= z (7.5)
dt

En forma similar, una EDO lineal de orden n-ésimo siempre puede transformarse en un
sistema de n EDO de primer orden.
Ahora veamos la solución. La función de fuerza representa el efecto del mundo
exterior sobre el sistema. La solución general de la ecuación homogénea trata el caso
donde la función de fuerza es igual a cero,
2
dy dy
a 2 2 + a 1 + ay = 0 (7.6)
0
dt dt
Entonces, como su nombre lo indica, la solución general describe algo muy general
acerca del sistema que está simulando; es decir, cómo responde el sistema en ausencia
de un estímulo externo.
Ahora bien, como la solución general de todos los sistemas lineales no forzados es
rt
de la forma y = e . Si esta función se deriva y se sustituye en la ecuación (7.6), el resul-
tado es
2 rt
rt
rt
a r e + a re + a e = 0
0
1
2
rt
cancelando los términos exponenciales, ya que e ≠ 0
2
r + a r + a = 0 (7.7)
a 2 1 0
Observe que el resultado es un polinomio, que al igualar a cero, se obtiene una
ecuación, llamada ecuación auxiliar o característica. Las raíces de este polinomio son
los valores de r que satisfacen la ecuación (7.7). Las r se conocen como los valores ca-
racterísticos, o eigenvalores, del sistema.
Se tiene aquí la relación entre las raíces de polinomios con la ciencia y la ingeniería.
Los eigenvalores nos dicen algo fundamental acerca del sistema que se está modelando,
así encontrar los eigenvalores implica encontrar las raíces de los polinomios. Y mientras
encontrar las raíces de una ecuación de segundo orden es fácil con la fórmula cua-
drática, encontrar las raíces de una EDO de orden superior, relacionado con un sistema

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