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172 RAÍCES DE POLINOMIOS

de orden superior (y, por lo tanto, de un polinomio de grado superior) es arduo desde el
punto de vista analítico. Entonces, se requiere usar métodos numéricos del tipo descrito
en este capítulo.
Antes de proceder con dichos métodos, investigaremos más profundamente
qué valores específicos de los eigenvalores están implicados en el comportamiento de
sistemas físicos. Primero se evaluarán las raíces de la ecuación (7.7) con la fórmula
cuadrática

2
r 1 = − a ± a − 4 a a
1
20
1
r 2 a 0
2
Se obtienen dos raíces. Si el discriminante (a – 4a a ) es positivo, las raíces son reales
2 0
1
y la solución general se representa como
r1t
y = c e + c e r2t (7.8)
2
1
donde las c son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Este
caso se llama sobreamortiguado.
Si el discriminante es cero, resulta una sola raíz real y la solución general se escri-
be como
y = (c + c t)e lt (7.9)
1
2
Este caso se llama de amortiguamiento crítico.
Si el discriminante es negativo, las raíces son números complejos conjugados
r 1
= l ± µi
r 2
y la solución general se formula como

y = c e (l+µi)t + c 2 e (l – µi)t
1
El comportamiento de esta solución se aclara mediante la fórmula de Euler de un núme-
ro complejo
µit
e = cos µt + i sen µt
para obtener la solución general como (véase Boyce y DiPrima, 1992, para detalles de
la demostración)
lt
lt
y = c e cos µt + c e sen µt (7.10)
2
1
Este caso se llama subamortiguado.
Las ecuaciones (7.8), (7.9) y (7.10) expresan las maneras posibles en que los sistemas
lineales responden dinámicamente. El término exponencial indica que la solución del
sistema es capaz de decaer (parte real del número complejo negativa) o crecer (parte real
del número complejo positiva) exponencialmente con el tiempo (figura 7.la). El término
senosoidal (parte imaginaria) significa que la solución puede oscilar (figura 7.1b). Si el
eigenvalor tiene tanto parte real como imaginaria, se combinan la forma exponencial y
senosoidal (figura 7.1c). Debido a que este conocimiento es el elemento clave para enten-

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