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174 RAÍCES DE POLINOMIOS

La forma anidada, en cambio

f (x) = ((a x + a )x + a )x + a 0 (7.12)
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implica tres multiplicaciones y tres sumas. Para un polinomio de n-ésimo grado, esta
forma requiere n multiplicaciones y n sumas. Ya que la forma anidada minimiza el
número de operaciones, también tiende a minimizar los errores de redondeo. Observe
que, según sea la preferencia, el orden de anidamiento puede invertirse:
f (x) = a + x(a + x(a + xa )) (7.13)
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1
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0
3
Un seudocódigo adecuado para implementar la forma anidada se escribe simple-
mente como
DOFOR j = n, 0, –1
p = p * x+a(j)
END DO

donde p tiene el valor del polinomio (definido por los coeficientes de las a) evaluado en x.
Existen casos (como el método de Newton-Raphson) donde se requiere evaluar
tanto la función como su derivada. Esta evaluación se puede también incluir al agre-
gar una línea en el seudocódigo anterior,

DOFOR j = n, 0, –1

df = df * x+p

p = p * x+a(j)
END DO

donde df es la primera derivada del polinomio.

7.2.2 Defl ación polinomial

Suponga que se determina la raíz de un polinomio de n-ésimo grado. Si se repite el
procedimiento para localizar la raíz, puede encontrarse la misma raíz. Por lo tanto, sería
adecuado eliminar la raíz encontrada antes de continuar. A este proceso de eliminar la
raíz se le llama deflación polinomial.
Antes de mostrar cómo se hace esto, veamos algunos antecedentes útiles. Los po-
linomios son típicamente representados en la forma de la ecuación (7.1). Por ejemplo,
un polinomio de quinto grado puede escribirse como
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f (x) = –120 – 46x + 79x – 3x – 7x + x 5 (7.14)
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Aunque ésta es la forma más común, no necesariamente es la mejor expresión para en-
tender el comportamiento matemático de los polinomios. Por ejemplo, este polinomio
de quinto grado se expresa de manera alternativa como
f (x) = (x + 1)(x – 4)(x – 5)(x + 3)(x – 2) (7.15)
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