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7.4 MÉTODO DE MÜLLER 177

de grado cero). En tal caso, es preferible dividir primero entre las raíces con el valor
absoluto más pequeño. En forma inversa, en la deflación hacia atrás (esto es, del térmi-
no de grado cero al de mayor grado) es preferible dividir primero entre las raíces con
mayor valor absoluto.
Otra manera de reducir los errores de redondeo es considerar que cada raíz sucesi-
va estimada, obtenida durante la deflación es un buen primer valor inicial. Al utilizarse
como un valor inicial, y determinar las raíces otra vez con el polinomio original sin
deflación, se obtiene raíces que se conocen como raíces pulidas.
Por último, se presenta un problema cuando dos raíces deflacionadas son suficien-
temente inexactas, de tal manera que ambas converjen a la misma raíz no deflacionada.
En tal caso, se podría creer en forma errónea que un polinomio tiene una raíz múltiple
(recuerde la sección 6.4). Una forma para detectar este problema consiste en comparar
cada raíz pulida con las que se han calculado anteriormente. Press y colaboradores (1992)
analizan el problema con mayor detalle.

7.3 MÉTODOS CONVENCIONALES

Ahora que se ha visto algún material de apoyo sobre polinomios, empezaremos a des-
cribir los métodos para localizar sus raíces. Es obvio que el primer paso sería investigar
la posibilidad de usar los métodos cerrados y abiertos, descritos en los capítulos 5 y 6.
La eficacia de dichos métodos depende de que el problema a resolver tenga raíces
complejas. Si sólo existen raíces reales, cualquiera de los métodos descritos anterior-
mente puede utilizarse. Sin embargo, el problema de encontrar un buen valor inicial
complica tanto los métodos cerrados como los abiertos; además que los métodos abier-
tos podrían ser susceptibles a problemas de divergencia.
Cuando existen raíces complejas, los métodos cerrados obviamente no se pueden
usar, ya que el criterio para definir el intervalo (que es el cambio de signo) no puede
trasladarse a valores complejos.
De los métodos abiertos, el método convencional de Newton-Raphson llega a ofre-
cer una aproximación viable. En particular, es posible desarrollar un código conciso que
comprenda deflación. Si se usa un lenguaje que permite manipular variables complejas
(como Fortran), entonces el algoritmo localizará tanto raíces reales como complejas. Sin
embargo, como es de esperarse, podría ser susceptible a tener problemas de convergen-
cia. Por tal razón, se han desarrollado métodos especiales para encontrar raíces reales y
complejas de polinomios. Se describen dos de estos métodos, el método de Müller y el
de Bairstow, en las siguientes secciones. Como se verá, ambos están relacionados con
los métodos abiertos convencionales descritos en el capítulo 6.

7.4 MÉTODO DE MÜLLER

Recuerde que el método de la secante obtiene una aproximación de la raíz dirigiendo
una línea recta hasta el eje x con dos valores de la función (figura 7.3a). El método de
Müller es similar; pero se construye una parábola con tres puntos (figura 7.3b).
El método consiste en obtener los coeficientes de la parábola que pasa por los tres
puntos. Dichos coeficientes se sustituyen en la fórmula cuadrática para obtener el valor
donde la parábola interseca al eje x; es decir, la raíz estimada. La aproximación se faci-
lita al escribir la ecuación de la parábola en una forma conveniente,

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