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9.4 TÉCNICAS PARA MEJORAR LAS SOLUCIONES 267

Además del método usado en el ejemplo anterior existen otras formas para evaluar la
condición del sistema. Por ejemplo, hay métodos alternativos para normalizar los elemen-
tos (véase Stark, 1970). Además, como se verá en el capítulo siguiente (sección 10.3), la
matriz inversa y la norma de una matriz pueden usarse para evaluar la condición de un
sistema. Por último, una prueba simple (pero que consume tiempo) consiste en modificar
ligeramente los coeficientes y repetir la solución. Si tales modificaciones generan resul-
tados drásticamente diferentes, es posible que el sistema esté mal condicionado.
Como se deduce del análisis anterior, los sistemas mal condicionados resultan pro-
blemáticos. Por fortuna, la mayoría de las ecuaciones algebraicas lineales, obtenidas de
un problema de ingeniería, son por naturaleza bien condicionadas. Además, algunas
de las técnicas presentadas en la sección 9.4 ayudarán a reducir el problema.

9.3.4 Sistemas singulares

En la sección anterior se aprendió que una forma con la cual un sistema de ecuaciones
puede estar mal condicionado es cuando dos o más de las ecuaciones son casi idénticas.
Obviamente aún es peor cuando las dos son idénticas. En tales casos, se pierde un grado
de libertad y se daría un caso imposible de n – 1 ecuaciones con n incógnitas. Tales
casos podrían no ser obvios, en particular cuando se enfrenta con grandes sistemas de
ecuaciones. En consecuencia, sería útil tener una forma de detectar la singularidad
de manera automática.
La respuesta a este problema está claramente dada por el hecho de que el determi-
nante de un sistema singular es cero. Esta idea, a su vez, puede relacionarse con la eli-
minación gaussiana reconociendo que después del paso de eliminación, el determinante
se evalúa como el producto de los elementos de la diagonal (recuerde el cuadro 9.1). Así,
un algoritmo de computadora puede efectuar una prueba para discernir si se crea un cero
en la diagonal durante la etapa de la eliminación. Si se descubre uno, el cálculo se pue-
de terminar inmediatamente y en la pantalla aparecerá un mensaje de alerta. Se mostra-
rán más tarde, en este capítulo, los detalles de cómo se realiza esto cuando se presente
el algoritmo completo de la eliminación de Gauss.

9.4 TÉCNICAS PARA MEJORAR LAS SOLUCIONES

Las siguientes técnicas se pueden incorporar al algoritmo de eliminación de Gauss
simple, para evitar algunos de los problemas analizados en la sección previa.

9.4.1 Uso de más cifras signifi cativas

El remedio más simple para el mal condicionamiento consiste en emplear más cifras
significativas en los cálculos. Si la computadora tiene la capacidad para usar más cifras,
esta característica reducirá enormemente el problema. No obstante, el precio que hay
que pagar en cálculo y memoria se eleva con el uso de la precisión extendida (recuerde
la sección 3.4.1).

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