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9.3 DIFICULTADES EN LOS MÉTODOS DE ELIMINACIÓN 263

Solución. Usando las ecuaciones (9.10) y (9.11), la solución es

2 10 – ( .
2 10 4)
()
x = = 4
1
12 () – ( .
21 1)
(.
11 10)
x = 1 104) – . ( = 3
2
21 1)
12 () – ( .
Sin embargo, con un ligero cambio al coeficiente a de 1.1 a 1.05, el resultado cambia
21
de forma drástica a
()
2 10 – ( .
2 10 4)
x = = 8
1
21 05)
12 () – ( .
11 10)
(.
x = 1 104) – . ( = 1
2
21 05)
12 () – ( .
Observe que la razón principal de la discrepancia entre los dos resultados es que el
denominador representa la diferencia de dos números casi iguales. Como se explicó
previamente en la sección 3.4.2, tales diferencias son altamente sensibles a pequeñas
variaciones en los números empleados.
En este punto, se podría sugerir que la sustitución de los resultados en las ecuacio-
nes originales alertaría al lector respecto al problema. Por desgracia, con frecuencia éste
no es el caso en sistemas mal condicionados. La sustitución de los valores erróneos x =
1
8 y x = 1 en las ecuaciones (E9.6.1) y (E9.6.2) resulta en
2
8 + 2(1) = 10 = 10
1.1(8) + 2(1) = 10.8 ≅ 10.4
Por lo tanto, aunque x = 8 y x = 1 no sea la solución verdadera al problema original, la
1
2
prueba de error es lo suficientemente cercana para quizá confundirlo y hacerle creer que
las soluciones son las adecuadas.
Como se hizo antes en la sección sobre métodos gráficos, es posible dar una repre-
sentación visual del mal condicionamiento al graficar las ecuaciones (E9.6.1) y (E9.6.2)
(recuerde la figura 9.2). Debido a que las pendientes de las líneas son casi iguales, vi-
sualmente es difícil percibir con exactitud dónde se intersecan. Dicha dificultad visual
se refleja en forma cuantitativa en los resultados ambiguos del ejemplo 9.6. Esta situa-
ción se puede caracterizar matemáticamente escribiendo las dos ecuaciones en su forma
general:

a x + a x = b 1 (9.24)
l2 2
11 1
a x + a x = b 2 (9.25)
21 1
22 2
Dividiendo la ecuación (9.24) entre a y la (9.25) entre a , y reordenando términos, se
12
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obtienen las versiones alternativas en el formato de líneas rectas [x = (pendiente) x +
2
1
intersección]:
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