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266 ELIMINACIÓN DE GAUSS

b) Para el sistema mal condicionado, el escalamiento resulta en

0.5x + x = 5
2
1
0.55x + x = 5.2
1
2
cuyo determinante es
D = 0.5(1) – 1(0.55) = –0.05

c) En el último caso, al realizar los cambios del escalamiento, el sistema toma la misma
forma que en b) y el determinante es también –0.05. De esta forma, se remueve el
efecto de la multiplicación por el escalar.

En una sección anterior (sección 9.1.2) se mencionó que el determinante es difícil
de evaluar para más de tres ecuaciones simultáneas. Por lo tanto, podría parecer que no
ofrece un recurso práctico para evaluar la condición de un sistema. Sin embargo, como
se describe en el cuadro 9.1, existe un algoritmo simple que resulta de la eliminación de
Gauss y que se puede usar para la evaluación del determinante.

Cuadro 9.1 Evaluación de determinantes usando la eliminación de Gauss

En la sección 9.1.2 se dijo que la evaluación de los determinan- Recuerde que el paso de eliminación hacia adelante de la
tes por expansión de menores no resultaba práctico para grandes eliminación de Gauss genera un sistema triangular superior.
sistemas de ecuaciones. De esta forma, se concluyó que la regla Puesto que el valor del determinante no cambia con el proceso
de Cramer sólo es aplicable a sistemas pequeños. Sin embargo, de eliminación hacia adelante, simplemente el determinante se
como se mencionó en la sección 9.3.3, el valor del determinante evalúa al fi nal de este paso por medio de
permite estimar la condición de un sistema. Por lo tanto, será útil
′′′
tener un método práctico para calcular esta cantidad. D = a a a a ( n−1) (C9.1.2)
11 22 33 nn
Por fortuna, la eliminación gaussiana proporciona una forma
simple para hacerlo. El método se basa en el hecho de que el donde los superíndices indican el número de veces que los ele-
determinante de una matriz triangular se puede calcular de forma mentos han sido modificados en el proceso de eliminación. Por
simple, como el producto de los elementos de su diagonal: lo tanto, es posible aprovechar el esfuerzo que se ha logrado al
reducir el sistema a su forma triangular, y obtener un cálculo
(C9.1.1)
D = a 11 a 22 a 33 … a nn
simple del determinante.
La validez de esta formulación se ilustra para un sistema de 3 Hay una ligera modifi cación al método anterior cuando el
por 3: programa usa pivoteo parcial (la sección 9.4.2). En este caso,
a a a el determinante cambia de signo cada vez que un renglón es
11 12 13
pivoteado. Una manera de representar esto es modifi cando la
D = 0 a a
22 23 ecuación (C9.1.2):
0 0 a
33
′′′
D = a a a a ( n−1) ( −1) (C9.1.3)
p
donde el determinante se evalúa como [recuerde la ecuación (9.4)] 11 22 33 nn
a a 0 a 0 a donde p representa el número de veces en que los renglones se
D = a 22 23 – a 23 + a 22
11 12 13
0 a 0 a 0 0 pivotean. Esta modificación se puede incorporar de forma simple
33 33
en un programa; únicamente rastree el número de pivoteos que
o evaluando los menores (es decir, los determinantes 2 por 2) se llevan a cabo durante el transcurso de los cálculos y después
D = a a a − a 0() + a 0() = a a a use la ecuación (C9.1.3) para evaluar el determinante.
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