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270 ELIMINACIÓN DE GAUSS

p = k y su número de renglón se guardan en big y p. Después, el segundo ciclo intercambia el
big = |a k,k | renglón del pivote original con el del elemento más grande, de tal forma que el último
DOFOR ii = k+1, n sea el nuevo renglón pivote. Este seudocódigo puede agregarse a un programa basado
dummy = |a ii,k | en los otros elementos de la eliminación de Gauss mostrados en la figura 9.4. La mejor
IF (dummy > big) forma de hacerlo consiste en emplear un método modular y escribir la figura 9.5 como
big = dummy
p = ii una subrutina (o procedimiento), que pueda llamarse directamente después del inicio
END IF del primer ciclo en la figura 9.4a.
END DO Observe que la segunda instrucción IF/THEN de la figura 9.5 intercambia física-
IF (p ≠ k) mente los renglones. Con grandes matrices, esto llevaría mucho tiempo. En consecuen-
DOFOR jj = k, n cia, de hecho, la mayoría de los códigos no intercambian renglones sino llevan un
registro de cuál es el renglón pivote, guardando los subíndices apropiados en un vector.
dummy = a p,jj
Este vector proporciona luego una base para especificar el orden adecuado de los ren-
a p,jj = a k,jj
a k,jj = dummy glones durante la eliminación hacia adelante y las operaciones de sustitución hacia atrás.
END DO Así, se dice que las operaciones se implementan in situ.
dummy = b p
b p = b k
b k = dummy 9.4.3 Escalamiento
END IF
En la sección 9.3.3 se mencionó que el escalamiento podía ser útil para la estandarización
del tamaño determinante. Más allá de esta aplicación, tiene utilidad en la minimización
FIGURA 9.5
Seudocódigo para de los errores de redondeo, en aquellos casos en los que algunas de las ecuaciones de un
implementar el pivoteo sistema tienen coeficientes mucho más grandes que otros. Tales situaciones se encuentran
parcial. con frecuencia en la práctica de la ingeniería, al usar unidades muy diferentes en el
desarrollo de ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, en problemas de circuitos eléctricos,
los voltajes desconocidos se pueden expresar en unidades que varían desde microvoltios
hasta kilovoltios. Existen ejemplos similares en todos los campos de la ingeniería. Mien-
tras cada una de las ecuaciones sea consistente, el sistema será técnicamente correcto y
susceptible de ser resuelto. Sin embargo, el uso de unidades tan diversas puede llevar a
que los coeficientes difieran ampliamente en magnitud. Esto, a su vez, puede tener un
impacto sobre el error de redondeo, ya que afecta el pivoteo, como se ilustra en el si-
guiente ejemplo.

EJEMPLO 9.10 Efecto del escalamiento sobre el pivoteo y el redondeo
Planteamiento del problema.

a) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando la eliminación de Gauss y una
estrategia de pivoteo:
2x + 100 000x = 100 000
1
2
x + x = 2
1
2
b) Repita el problema después de escalar las ecuaciones de tal forma que el coefi ciente
máximo en cada renglón sea 1.
c) Finalmente, utilice los coefi cientes escalados para determinar si el pivoteo es ne-
cesario. No obstante, resuelva las ecuaciones con los valores de los coefi cientes
originales. En todos los casos, conserve sólo tres cifras signifi cativas. Observe que
las respuestas correctas son x = 1.00002 y x = 0.99998 o, para tres cifras signifi -
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cativas, x = x = 1.00.
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