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262 ELIMINACIÓN DE GAUSS

de pivoteo se ha desarrollado para evitar en forma parcial estos problemas. Ésta se des-
cribe en la sección 9.4.2.
9.3.2 Errores de redondeo

Aun cuando la solución del ejemplo 9.5 fue cercana a la solución verdadera, existe una
pequeña discrepancia en el resultado de x [ecuación (E9.5.10)]. Esta diferencia, que
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corresponde a un error relativo del –0.00043%, se debe al uso de seis cifras significati-
vas durante los cálculos. Si se hubiesen utilizado más cifras significativas, el error en
los resultados se habría reducido considerablemente. Si se hubiesen usado fracciones
en lugar de decimales (y en consecuencia evitado los errores de redondeo), los resulta-
dos habrían sido exactos. Sin embargo, como las computadoras manejan sólo un núme-
ro limitado de cifras significativas (recuerde la sección 3.4.1), es posible que ocurran
errores de redondeo y se deben considerar al evaluar los resultados.
El problema de los errores de redondeo llega a volverse particularmente importan-
te cuando se trata de resolver un gran número de ecuaciones. Esto se debe al hecho de
que cada resultado depende del anterior. Por consiguiente, un error en los primeros pasos
tiende a propagarse, es decir, a causar errores en los siguientes pasos.
Resulta complicado especificar el tamaño de los sistemas donde los errores de re-
dondeo son significativos, ya que depende del tipo de computadora y de las propieda-
des de las ecuaciones. Una regla generalizada consiste en suponer que los errores de
redondeo son de importancia cuando se trata de sistemas de 100 o más ecuaciones. En
cualquier caso, siempre se deben sustituir los resultados en las ecuaciones originales y
verificar si ha ocurrido un error sustancial. No obstante, como se verá más adelante, las
magnitudes de los mismos coeficientes pueden influir en la aceptación de si una de
estas pruebas de error asegura un resultado confiable.

9.3.3 Sistemas mal condicionados
Lo adecuado de una solución depende de la condición del sistema. En la sección 9.1.1 se
desarrolló una representación gráfica de la condición de un sistema. Como se estudió en
la sección 4.2.3, los sistemas bien condicionados son aquellos en los que un pequeño
cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similarmente pequeño en la solu-
ción. Los sistemas mal condicionados son aquellos en donde pequeños cambios en los
coeficientes generan grandes cambios en la solución. Otra interpretación del mal condi-
cionamiento es que un amplio rango de resultados puede satisfacer las ecuaciones en
forma aproximada. Debido a que los errores de redondeo llegan a provocar pequeños
cambios en los coeficientes, estos cambios artificiales pueden generar grandes errores
en la solución de sistemas mal condicionados, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 9.6 Sistemas mal condicionados
Planteamiento del problema. Resuelva el siguiente sistema:

x 1 + 2x 2 = 10 (E9.6.1)
1.1x + 2x = 10.4 (E9.6.2)
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Después, resuélvalo de nuevo, pero con el coeficiente x de la segunda ecuación modi-
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ficado ligeramente como 1.05.

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