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9.3 DIFICULTADES EN LOS MÉTODOS DE ELIMINACIÓN 265

Solución.

a) El determinante de las ecuaciones (E9.7.1) y (E.9.7.2) que están bien condicio-
nadas, es
D = 3(2) – 2(–1) = 8

b) El determinante de las ecuaciones (E9.7.3) y (E9.7.4), que están mal condicio-
nadas, es

D = 1(2) – 2(1.1) = –0.2

c) Los resultados en a) y b) parecen corroborar el argumento de que los sistemas mal
condicionados tienen determinantes cercanos a cero. Sin embargo, suponga que el
sistema mal condicionado en b) se multiplica por 10, para obtener
10x + 20x = 100
2
1
11x + 20x = 104
1
2
La multiplicación de una ecuación por una constante no tiene efecto en su solu-
ción. Además, todavía está mal condicionada. Esto se verifi ca por el hecho de que
multiplicar por una constante no tiene efecto en la solución gráfi ca. No obstante, el
determinante se afecta en forma drástica:

D = 10(20) – 20(11) = –20
No sólo se han elevado en dos órdenes de magnitud, sino que ahora es más de dos
veces el determinante del sistema bien condicionado a).

Como se ilustró en el ejemplo anterior, la magnitud de los coeficientes interpone un
efecto de escalamiento, que complica la relación entre la condición del sistema y el ta-
maño del determinante. Una manera de evitar parcialmente esta dificultad es escalando
las ecuaciones en forma tal que el elemento máximo en cualquier renglón sea igual a 1.
EJEMPLO 9.8 Escalamiento

Planteamiento del problema. Escale los sistemas de ecuaciones del ejemplo 9.7 a un
valor máximo de 1 y calcule de nuevo sus determinantes.
Solución.

a) Para el sistema bien condicionado, el escalamiento resulta en

x + 0.667x = 6
1
2
+ x = 1
–0.5x 1 2
cuyo determinante es

D = 1(1) – 0.667(–0.5) = 1.333

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