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264 ELIMINACIÓN DE GAUSS

a b
x = – 11 x + 1
2 1
a 12 a 12
a b
x = – 21 x + 2
2
1
a a
22 22
Por consiguiente, si las pendientes son casi iguales
a 11 ≅ a 21
a 12 a 22

o, multiplicando en cruz,

a a ≅ a a
12 21
11 22
lo cual se expresa también como

a a – a a ≅ 0 (9.26)
12 21
11 22
Ahora, si recordamos que a a – a a es el determinante de un sistema bidimen-
11 22
12 21
sional [ecuación (9.3)], se llega a la conclusión general de que un sistema mal condicio-
nado es aquel en el que su determinante es cercano a cero. De hecho, si el determinante
es exactamente igual a cero, las dos pendientes son idénticas, lo cual indica ya sea que
no hay solución o que hay un número infinito de soluciones, como es el caso de los
sistemas singulares ilustrados en las figuras 9.2a y 9.2b.
Es difícil especificar qué tan cerca de cero debe estar el determinante de manera
que indique un mal condicionamiento. Esto se complica por el hecho de que el determi-
nante puede cambiar al multiplicar una o más ecuaciones por un factor de escalamiento
sin alterar la solución. Por consiguiente, el determinante es un valor relativo que se ve
influenciado por la magnitud de los coeficientes.

EJEMPLO 9.7 Efecto de escalamiento sobre el determinante

Planteamiento del problema. Evalúe el determinante de los siguientes sistemas:

a) Del ejemplo 9.1:
3x + 2x = 18 (E9.7.1)
2
1
–x + 2x = 2 (E9.7.2)
2
1
b) Del ejemplo 9.6:
+ 2x = 10 (E9.7.3)
x 1 2
1.1x + 2x = 10.4 (E9.7.4)
2
1
c) Repita b), pero multiplique las ecuaciones por 10.

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