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PROBLEMAS 347

10 kg T = 10
a
T 0 = 40 T = 200
5
40 kg Fricción = 0.5 x
50 kg
Fricción = 0.3
T a = 10
Fricción = 0.2 60 x = 0 x = 10
30
Figura P12.38
Figura P12.35
Una barra uniforme sin aislamiento colocada entre dos pare-
des de temperatura constante pero diferente. La representa-
ción en diferencias fi nitas emplea cuatro nodos interiores.

10 kg 8 kg donde T = temperatura (ºC), x = distancia a lo largo de la barra

(m), h′ = coeficiente de transferencia de calor entre la barra y el
15 kg Fricción aire del ambiente (m ), y T a = temperatura del aire circundante
–2
= 0.2 5 kg (ºC). Esta ecuación se transforma en un conjunto de ecuaciones
Fricción = 0.8 algebraicas lineales por medio del uso de una aproximación en
diferencias finitas divididas para la segunda derivada (recuerde
la sección 4.1.3),
Figura P12.36
2
dT = T − 2 T + T i 1
−
+
i
i 1
dx 2 ∆ x 2
donde T i denota la temperatura en el nodo i. Esta aproximación
se sustituye en la ecuación (P12.38) y se obtiene
x 1 x 2 x 3
−T + 2( ∆x T) − T ∆x T
k 1 k 2 k 3 k 4 + h′ 2 = h′ 2
− i 1 i + i 1 a
m 1 m 2 m 3
Se puede plantear esta ecuación para cada uno de los nodos in-
teriores de la barra, lo que resulta en un sistema tridiagonal de
ecuaciones. Los nodos primero y último en los extremos de la
barra están fijos por las condiciones de frontera.
Figura P12.37
a) Desarrolle la solución analítica para la ecuación (P12.38)
para una barra de 10 m con T a = 20, T(x = 0) = 40, T(x = 10)
= 200 y h′ = 0.02.
donde k 1 = k 4 = 10 N/m, k 2 = k 3 = 30 N/m, y m 1 = m 2 = m 3 = m 4
b) Desarrolle una solución numérica para los mismos valores de
= 2 kg. Escriba las tres ecuaciones en forma matricial:
los parámetros que se emplearon en el inciso a), con el uso
0 = [vector de aceleración] + [matriz k/m] [vector de de una solución en diferencias finitas con cuatro nodos in-
desplazamiento x] teriores según se muestra en la figura P12.38 (∆x = 2 m).
12.39 La distribución de temperatura de estado estable en una
En un momento específico en el que x 1 = 0.05 m, x 2 = 0.04 m, y placa caliente está modelada por la ecuación de Laplace:
x 3 = 0.03 m, se forma una matriz tridiagonal. Resuelva cuál es la ∂ T ∂ T
2
2
aceleración de cada masa. 0 = +
∂x 2 ∂y 2
12.38 Las ecuaciones algebraicas lineales pueden surgir al re-
Si se representa la placa por una serie de nodos (véase la figura
solver ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la ecuación dife-
P12.39), las diferencias finitas divididas se pueden sustituir por
rencial siguiente proviene de un balance de calor para una barra
las segundas derivadas, lo que da como resultado un sistema de
larga y delgada (véase la figura P12.38):
ecuaciones algebraicas lineales. Utilice el método de Gauss-
2
dT + hT −′( T =) 0 (P12.38) Seidel para resolver cuáles son las temperaturas de los nodos que
dx 2 a se aprecian en la figura P12.39.
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