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EPÍLOGO: PARTE TRES

PT3.4 ALTERNATIVAS

La tabla PT3.2 ofrece un resumen de las ventajas y desventajas en la solución de ecua-
ciones algebraicas lineales simultáneas. Dos métodos (el gráfi co y la regla de Cramer)
están limitados a pocas ecuaciones (≤ 3), de modo que tienen escasa utilidad para resolver
problemas prácticos. Sin embargo, dichas técnicas son herramientas didácticas útiles para
entender el comportamiento de los sistemas lineales en general.
Los métodos numéricos se dividen en dos categorías generales: métodos exactos y
aproximados. Los primeros, como su nombre lo indica, buscan dar resultados exactos.
No obstante, como están afectados por errores de redondeo, algunas veces dan resultados
imprecisos. La magnitud del error de redondeo varía en cada sistema y depende de varios
factores, tales como las dimensiones del sistema, su condición y el hecho de si la matriz
de coefi cientes es dispersa o densa. Además, la precisión de la computadora afectará el
error de redondeo.
Se recomienda una estrategia de pivoteo en todo programa de computadora que realice
métodos de eliminación exactos. Esa estrategia minimiza el error de redondeo y evita
problemas como el de la división entre cero. Los algoritmos basados en la descomposición
LU son los métodos que se eligen debido a su efi ciencia y fl exibilidad.

TABLA PT3.2 Comparación de las características de diversos métodos alternativos para encontrar soluciones
de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas.

Rango de Complejidad de
Método Estabilidad Precisión aplicación programación Comentarios
Gráfi co — Pobre Limitado — Puede tomar más tiempo
que el método numérico
Regla de Cramer — Afectada por errores Limitado — Excesiva complejidad
de redondeo de cálculo
para más de tres
ecuaciones
Eliminación de Gauss — Afectada por errores General Moderada
(con pivoteo parcial) de redondeo
Descomposición LU — Afectada por errores General Moderada Método de eliminación
de redondeo preferido; permite el
cálculo de la matriz
inversa
Gauss-Seidel Puede no Excelente Apropiada Fácil
converger sólo para
si no es sistemas
diagonalmente diagonalmente
dominante dominantes

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