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PT3.6 MÉTODOS AVANZADOS Y REFERENCIAS ADICIONALES 351

TABLA PT3.3 Resumen de información importante que se presenta en la parte tres.

Problemas
y soluciones
Método Procedimiento potenciales
3 ''
Eliminación a 11 a 12 a 13 | c 1 a 11 a 12 a 13 | c 1 x = c /a'' 33 Problemas:
3
de Gauss a 21 a 22 a 23 | c 2 ⇒ a 22 a 23 '' | c 2 ' ⇒ x 2 = (c 2 – a 23 x 3 )/a 22 ' Mal condicionamiento
'
'
| '' | c 3 '' Redondeo
a 31 a 32 a 33 c 3 a 33 x 1 = (c 1 – a 12 x 1 – a 13 x 3 )/a 11
División entre cero
Soluciones:
Alta precisión
Sustitución Pivoteo parcial
Descomposición hacia atrás
Problemas:
Mal condicionamiento
Descomposición a 11 a 12 a 13 1 0 0 d 1 c 1 u 11 u 12 u 13 x 1 d 1 x 1 Redondeo
LU a 21 a 22 a 23 ⇒ I 21 1 0 d 2 = c 2 ⇒ 0 u 22 u 23 x 2 = d 2 ⇒ x 2 División entre cero
a 31 a 32 a 33 I 31 32 1 d 3 c 3 0 0 u 33 x 3 d 3 x 3 Soluciones:
I
Alta precisión
Pivoteo parcial
Sustitución hacia adelante
Problemas:
Continúa iterativamente hasta
i–1
i–1
i
Método de x 1 = (c 1 – a 12 x 2 – a 13 x 3 )/a 11 i i–1 Divergente o
i–1
x i – x i
i
i
Gauss-Seidel x = (c – a x – a x )/a 22 ———— 100% < ε s converge lentamente
2
21 1
2
23 3
i i i x i i
x 3 = (c 3 – a 31 x 1 – a 32 x 2 ) /a 33 Soluciones:
para todas las x i
Dominancia
diagonal
Relajación
Además de los conjuntos de ecuaciones n n, hay otros tipos de sistemas donde el
número de ecuaciones, m, y el número de incógnitas, n, no son iguales. A los sistemas
donde m < n se les conoce como subdeterminados. En tales casos quizá no haya solución
o tal vez haya más de una. Los sistemas donde m > n se denominan sobredeterminados.
En tales situaciones no hay, en general, solución exacta. Sin embargo, a menudo es posible
desarrollar una solución que intente determinar soluciones que estén “lo más cercanas”,
para satisfacer todas las ecuaciones de manera simultánea. Un procedimiento común
consiste en resolver la ecuación en un sentido de “mínimos cuadrados” (Lawson y Han-
son, 1974; Wilkinson y Reinsch, 1971). Alternativamente, se pueden utilizar métodos de
programación lineal, con los cuales las ecuaciones se resuelven en un sentido “optimal”,
minimizando alguna función objetivo (Dantzig, 1963; Luenberger, 1973 y Rabinowitz,
1968). En el capítulo 15 se describe con mayor detalle este procedimiento.

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