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356 OPTIMIZACIÓN UNIDIMENSIONAL NO RESTRINGIDA

donde m = masa de cada paquete (kg), M = carga total que habrá de arrojarse (kg) y n =
t
número total de paquetes.
Por último, el costo de cada paracaídas está relacionado con su tamaño en una
forma no lineal,
+ c + c A 2 (PT4.4)
Costo por paracaídas = c 0 1 2
donde c , c y c son coeficientes de costo. El término constante, c , es el costo base de los
0
0
2
1
paracaídas. La relación no lineal entre costo y área se debe a que la fabricación de
los paracaídas de gran tamaño es más complicada que la de los paracaídas pequeños.
Determine el tamaño (r) y el número de paracaídas (n) que se obtienen a un mínimo
costo y que, al mismo tiempo, satisfacen el requerimiento de lograr una velocidad de
impacto suficientemente pequeña.
Solución. El objetivo aquí consiste en determinar la cantidad y el tamaño de los pa-
racaídas que minimicen el costo de la operación. El problema tiene restricciones, ya que
los paquetes deben tener una velocidad de impacto menor al valor crítico.
El costo se calcula al multiplicar el valor de un solo paracaídas [ecuación (PT4.4)]
por el número de paracaídas (n). Así, la función que usted debe minimizar, llamada
formalmente función objetivo, se escribe como
2
Minimizar C = n(c + c + c A ) (PT4.5)
2
1
0
donde C = costo ($) y A y se calculan con las ecuaciones (PT4.1) y (PT4.2), respecti-
vamente.
A continuación, se deben especificar las restricciones. En este problema existen dos
restricciones. Primera, la velocidad de impacto debe ser igual o menor que la velocidad
crítica.
v ≤ v c (PT4.6)
Segunda, el número de paquetes debe ser un entero mayor o igual a 1,

n ≥ 1 (PT4.7)
donde n es un entero.
En este momento, ya se ha formulado el problema de optimización. Como se obser-
va, es un problema con restricciones no lineal.
Aunque el problema se ha formulado completamente, se debe tener en cuenta algo
más: ¿cómo se determina la velocidad de impacto v? Recuerde del capítulo 1 que la
velocidad de un objeto que cae se calcula así:
gm
v = (–1 e –( cm t/ ) ) (1.10)
c
2
donde v = velocidad (m/s), g = aceleración de la gravedad (m/s ), m = masa (kg) y t =
tiempo (s).
Aunque la ecuación (1.10) proporciona una relación entre v y t, lo que se necesita
saber en cuánto tiempo cae la masa. Por lo tanto, es necesaria una relación entre la dis-
tancia de caída z y el tiempo de caída t. La distancia de caída se calcula a partir de la
velocidad en la ecuación (1.10) mediante la integración

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