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524 INTERPOLACIÓN

Cuadro 18.2 Interpolación con datos igualmente espaciados

Si los datos están igualmente espaciados y en orden ascendente, donde el residuo es el mismo que en la ecuación (18.16). Esta
entonces la variable independiente tiene los valores de ecuación se conoce como fórmula de Newton o la fórmula hacia
adelante de Newton-Gregory, que se puede simplificar más al
x 1 = x 0 + h definir una nueva cantidad, a:
x 2 = x 0 + 2h
· α = x − x 0
· h
· Esta definición se utiliza para desarrollar las siguientes expre-
x n = x 0 + nh siones simplificadas de los términos en la ecuación (C18.2.3):

donde h es el intervalo, o tamaño de paso, entre los datos. Ba- x – x 0 = ah
sándose en esto, las diferencias divididas finitas se pueden ex- x – x 0 – h = ah – h = h(a – 1)
presar en forma concisa. Por ejemplo, la segunda diferencia ·
dividida hacia adelante es ·
x
x
x
x
ƒ() – ƒ( ) ƒ() – ƒ( ) ·
2 1 − 1 0 x – x 0 – (n – 1)h = ah – (n – 1)h = h(a – n + 1)
ƒ[, ,x ] = x 2 – x 1 x 1 – x 0
xx
0 1 2
x – x
2 0 que se sustituye en la ecuación (C18.2.3) para tener
que se expresa como ∆ 2 ƒ x ()
+ ƒ x ()α
ƒ x ( ) = ƒ x () ∆ 0 + 0 α (α − ) 1
n
0
ƒ[, ,xx x 2 ] = ƒ() –x 2 2 ƒ( )x 1 + ƒ( )x 0 (C18.2.1) ! 2
0
1
2 h 2 ∆ n ƒ x ()
+ + 0 αα − ) 1 (α − + ) 1 + R n
(
n
ya que x 1 – x 0 = x 2 – x 1 = (x 2 – x 0 )/2 = h. Ahora recuerde que la n!
segunda diferencia hacia adelante es igual a [numerador de (C18.2.4)
la ecuación (4.24)]
donde
∆ f(x 0 ) = f(x 2 ) – 2f(x 1 ) + f(x 0 ) ƒ ( n+ )1 ()ξ
2
R = h αα − )(α − ) 2 (α − n)
n+1
1
(
Por lo tanto, la ecuación (B18.2.1) se representa como n ( n + )!
1
∆ 2 ƒ() En el capítulo 21 esta notación concisa tendrá utilidad en la de-
x
xx
ƒ[, ,x ] = 0
0 1 2 2
2 !h ducción y análisis del error de las fórmulas de integración.
Además de la fórmula hacia adelante, también existen las
o, en general
fórmu las hacia atrás y central de Newton-Gregory. Para más
∆ n ƒ() información respecto de la interpolación para datos igualmente
x
ƒ[, ,… ,x ] = 0 (C18.2.2)
xx
0 1 n n espaciados véase Carnahan, Luther y Wilkes (1969).
! nh
Usando la ecuación (C18.2.2), en el caso de datos igualmente
espaciados, expresamos el polinomio de interpolación de Newton
[ecuación (18.15)] como
∆ ƒ x()
ƒ x() = ƒ x( ) + 0 x ( − x )
n
0
0
h
∆ 2 ƒ x()
+ 0 x ( − x )( x − x − h)
h ! 2 2 0 0
∆ n ƒ x()
+ + 0 x ( − x )( x − x − h)
nh! n 0 0
x [ − x 0 − n( − h) ] + R n (C18.2.3)
1
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