Page 556 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

532 INTERPOLACIÓN

f (x) = –x + 5.5 3.0 < x < 4.5
1
2
f (x) = 0.64x – 6.76x + 18.46 4.5 < x < 7.0
2
2
f (x) = –1.6x + 24.6x – 91.3 7.0 < x < 9.0
3
Cuando se usa f , la predicción para x = 5 es,
2
2
f (5) = 0.64(5) – 6.76(5) + 18.46 = 0.66
2
El ajuste total por trazadores se ilustra en la figura 18.16b. Observe que hay dos
desventajas que se alejan del ajuste: 1. la línea recta que une los dos primeros puntos y
2. el trazador para el último intervalo parece oscilar demasiado. Los trazadores cúbicos
de la siguiente sección no presentan estas desventajas y, en consecuencia, son mejo-
res métodos para la interpolación mediante trazadores.

18.6.3 Trazadores cúbicos

El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado para cada
intervalo entre los nodos:
3
2
f (x) = a x + b x + c x + d i (18.35)
i
i
i
i
Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n incóg-
nitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condiciones para
evaluar las incógnitas. Éstas son:
1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2 condi-
ciones).
2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condi-
ciones).
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condicio-
nes).
4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condicio-
nes).
5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).

La interpretación visual de la condición 5 es que la función se vuelve una línea recta en
los nodos extremos. La especificación de una condición tal en los extremos nos lleva a
lo que se denomina trazador “natural”. Se le da tal nombre debido a que los trazadores
para el dibujo naturalmente se comportan en esta forma (figura 18.15). Si el valor de la
segunda derivada en los nodos extremos no es cero (es decir, existe alguna curvatura),
es posible utilizar esta información de manera alternativa para tener las dos condiciones
finales.
Los cinco tipos de condiciones anteriores proporcionan el total de las 4n ecuaciones
requeridas para encontrar los 4n coeficientes. Mientras es posible desarrollar trazadores
cúbicos de esta forma, presentaremos una técnica alternativa que requiere la solución de
sólo n – 1 ecuaciones. Aunque la obtención de este método (cuadro 18.3) es un poco
menos directo que el de los trazadores cuadráticos, la ganancia en eficiencia bien vale
la pena.

6/12/06 13:57:55
Chapra-18.indd 532 6/12/06 13:57:55
Chapra-18.indd 532