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18.6 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) 533

Cuadro 18.3 Obtención de trazadores cúbicos

El primer paso en la obtención (Cheney y Kincaid, 1985) se digamos, la ecuación (18.35). Sin embargo, observe que contie-
considera la observación de cómo cada par de nodos está unida ne sólo dos “coeficientes” desconocidos; es decir, las segundas
por una cúbica; la segunda derivada dentro de cada intervalo es derivadas al inicio y al final del intervalo: ƒ″(x i–1 ) y ƒ″(x i ). De
una línea recta. La ecuación (18.35) se puede derivar dos veces esta forma, si podemos determinar la segunda derivada en cada
para verificar esta observación. Con esta base, la segunda deri- nodo, la ecuación (C18.3.2) es un polinomio de tercer grado que
vada se representa mediante un polinomio de interpolación de se utiliza para interpolar dentro del intervalo.
Lagrange de primer grado [ecuación (18.22)]: Las segundas derivadas se evalúan tomando la condición de
que las primeras derivadas deben ser continuas en los nodos:
xx– x − x
′′ ƒ x() = ′′ ƒ x( ) i + ′′ ƒ x() − i 1 (C18.3.1)
i i − i 1 i i
x – x x – x f ′ (x ) = f ′(x ) (C18.3.3)
i
i–1
i
i
− i 1 i i − i 1
donde f i ″(x) es el valor de la segunda derivada en cualquier
La ecuación (C18.3.2) se deriva para ofrecer una expresión
punto x dentro del i-ésimo intervalo. Así, esta ecuación es una
de la primera derivada. Si se hace esto tanto para el (i – 1)-ésimo,
línea recta, que une la segunda derivada en el primer nodo
como para i-ésimo intervalos, y los dos resultados se igualan de
ƒ″(x i–1 ) con la segunda derivada en el segundo nodo ƒ″(x i ).
acuerdo con la ecuación (B18.3.3), se llega a la siguiente rela-
Después, la ecuación (C18.3.1) se integra dos veces para
ción:
obtener una expresión para f i (x). Sin embargo, esta expresión
contendrá dos constantes de integración desconocidas. Dichas (x − x ) ′′ (x ) + 2 (x − x ) ′′ ( )x
ƒ
ƒ
constantes se evalúan tomando las condiciones de igualdad de i i−1 i−1 i+1 i−1 i
) ′′
las funciones [f(x) debe ser igual a f(x i–1 ) en x i–1 y f(x) debe ser + (x i+1 − x ƒ (x i+1 )
i
igual a f(x i ) en x i )]. Al realizar estas evaluaciones, se tiene la si- = 6 [(xƒ ) − ƒ
guiente ecuación cúbica: x − x i+1 ( )]x i
i+1 i
ƒ ′′ x ( ) ƒ ′′ x () + 6 [(xƒ ) − ƒ ( )]x (C18.3.4)
ƒ x () = i − i 1 x ( − x) 3 + i x ( − x ) 3 x − x i−1 i
i i − i 1 i i−1
x ( 6 − x ) x ( 6 − x )
i − i 1 i − i 1
⎡ ƒ x ( ) ƒ ′′ x ( )( x − x ) ⎤
+ ⎢ − i 1 − − i 1 i − i 1 ⎥ ( x − x) Si la ecuación (C18.3.4) se escribe para todos los nodos interio-
⎣ x i − x − i 1 6 ⎦ i res, se obtienen n – 1 ecuaciones simultáneas con n + 1 segundas
⎡ ƒ x () ƒ ′′()(x x − x ⎤ ) derivadas desconocidas. Sin embargo, como ésta es un trazador
+ ⎢ i − i i i −1 ⎥ (x − x i −1 ) cúbico natural, las segundas derivadas en los nodos extremos son
⎣ x i − x i−−1 6 ⎦ cero y el problema se reduce a n – 1 ecuaciones con n – 1 incóg-
(C18.3.2) nitas. Además, observe que el sistema de ecuaciones será tridia-
gonal. Así, no sólo se redujo el número de ecuaciones, sino que
Ahora, es claro que esta relación es una expresión mucho más las organizamos en una forma extremadamente fácil de resolver
compleja para un trazador cúbico para el i-ésimo intervalo que, (recuerde la sección 11.1.1).
La deducción del cuadro 18.3 da como resultado la siguiente ecuación cúbica en
cada intervalo:
ƒ ′′ x ( ) ƒ ′′ x ()
ƒ x () = i − i 1 x ( − x) 3 + i i x ( − x ) 3
i i − i 1
x ( 6 i − x ) x ( 6 i − x )
− i 1
− i 1
⎡ ƒ x ( ) ƒ ′′ x ( )( x − x ) ⎤
+ ⎢ − i 1 − − i 1 i − i 1 ⎥ x ( i − x)
⎣ x i − x − i 1 6 ⎦
⎡ ƒ x () ƒ ′′()( x − x ) ⎤
x
+ ⎢ i − i i i−1 ⎥ ( x − x ) (18.36)
⎣ x i − x i i−1 6 ⎦ i−1

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