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18.6 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) 535

1 67909 3 25 .
.
x
45
ƒ () x = (– 3) + (. − ) x
1
64 5 − 3) 45 . − 3
(.
.
(
+ ⎡ ⎢ ⎣45 . 1 − 3 − 1 67909 4 5 . − 3) ⎤ ⎥ ⎦ (x − 3)
6
o
3
f (x) = 0.186566(x – 3) + 1.666667(4.5 – x) + 0.246894(x – 3)
1
Esta ecuación es el trazador cúbico para el primer intervalo. Se realizan sustituciones
similares para tener las ecuaciones para el segundo y tercer intervalo:
3
3
f (x) = 0.111939(7 – x) – 0.102205(x – 4.5) – 0.299621(7 – x)
2
+ 1.638783(x – 4.5)
y
3
f (x) = –0.127757(9 – x) + 1.761027(9 – x) + 0.25(x – 7)
3
Las tres ecuaciones se pueden utilizar para calcular los valores dentro de cada intervalo.
Por ejemplo, el valor en x = 5, que está dentro del segundo intervalo, se calcula como
sigue
3
3
f (5) = 0.111939(7 – 5) – 0.102205(5 – 4.5) – 0.299621(7 – 5)
2
+ 1.638783(5 – 4.5) = 1.102886
Se calculan otros valores y los resultados se grafican en la figura 18.16c.

Los resultados de los ejemplos 18.8 a 18.10 se resumen en la figura 18.16. Observe
cómo mejora progresivamente el ajuste conforme pasamos de trazadores lineales, a
cuadráticos y cúbicos. También hemos sobrepuesto un polinomio de interpolación cúbi-
ca en la figura 18.16c. Aunque el trazador cúbico consiste de una serie de curvas de
tercer grado, el ajuste resultante difiere del obtenido al usar un polinomio de tercer
grado. Esto se debe al hecho de que el trazador natural requiere segundas derivadas
iguales a cero en los nodos extremos; mientras que el polinomio cúbico no tiene tal
restricción.

18.6.4 Algoritmo computacional para trazadores cúbicos
El método para calcular trazadores cúbicos, descrito en la sección anterior, es ideal para
implementarse en una computadora. Recuerde que, con algunas manipulaciones inteli-
gentes, el método se reduce a la solución de n – 1 ecuaciones simultáneas. Un beneficio
más de la derivación es que, como lo especifica la ecuación (18.37), el sistema de ecua-
ciones es tridiagonal. Como se describió en la sección 11.1, existen algoritmos para re-
solver tales sistemas de una manera extremadamente eficiente. La figura 18.18 muestra
una estructura computacional que incorpora esas características.

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