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PROBLEMAS 537

PROBLEMAS

18.1 Estime Estime el logaritmo natural de 10 por medio de Observe que los valores de la tabla se generaron con la función
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interpolación lineal. f(x) = x /(1 + x ).
a) Interpole entre log 8 = 0.9030900 y log 12 = 1.0791812. a) Determine en forma analítica el valor correcto.
b) Interpole entre log 9 = 0.9542425 y log 11 = 1.0413927. b) Use interpolación cúbica de x versus y.
Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo c) Utilice interpolación inversa con interpolación cuadrática
porcentual con base en el valor verdadero. y la fórmula cuadrática.
d) Emplee interpolación inversa con interpolación cúbica y
18.2 Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de segun-
bisección. Para los incisos b) a d) calcule el error relativo
do orden para estimar el log 10, con los datos del problema 18.1
porcentual verdadero.
en x = 8, 9 y 11. Calcule el error relativo porcentual verdadero.
18.10 Desarrolle trazadores cuadráticos para los cinco primeros
18.3 Ajuste un polinomio de interpolación de Newton de tercer
datos del problema 18.4, y pronostique f(3.4) y f(2.2).
orden para estimar log 10 con los datos del problema 18.1.
18.11 Obtenga trazadores cúbicos para los datos del problema
18.4 Dados los datos
18.5, y a) pronostique f(4) y f(2.5), y b) verifique que f 2 (3) y
f 3 (3) = 19.
x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5
18.12 Determine los coeficientes de la parábola que pasa por los
f (x) 2 8 14 15 8 2 últimos tres puntos del problema 18.4.
18.13 Determine los coeficientes de la ecuación cúbica que pasa
a) Calcule f(2.8) con el uso de polinomios de interpolación de por los primeros cuatro puntos del problema 18.5.
Newton de órdenes 1 a 3. Elija la secuencia de puntos más 18.14 Desarrolle, depure y pruebe un programa en cualquier
apropiada para alcanzar la mayor exactitud posible para sus lenguaje de alto nivel o de macros que elija, para implantar la
estimaciones. interpolación de polinomios de Newton, con base en la figura
b) Utilice la ecuación (18.18) para estimar el error de cada 18.7.
predicción. 18.15 Pruebe el programa que desarrolló en el problema 18.14
18.5 Dados los datos con la duplicación del cálculo del ejemplo 18.5.
18.16 Use el programa que desarrolló en el problema 18.14 para
x 1 2 3 5 7 8 resolver los problemas 18.1 a 18.3.
18.7 Utilice el programa que desarrolló en el problema 18.14
f (x) 3 6 19 99 291 444
para solucionar los problemas 18.4 y 18.5. En el problema 18.4
utilice todos los datos para desarrollar polinomios de primero a
Calcule f(4) con el uso de polinomios de interpolación de Newton quinto grado. Para ambos problemas, haga la gráfica del error
de órdenes 1 a 4. Elija los puntos base para obtener una buena estimado versus el orden.
exactitud. ¿Qué indican los resultados en relación con el orden 18.18 Desarrolle, depure y pruebe un programa en el lenguaje
del polinomio que se emplea para generar los datos de la tabla? de alto nivel o macros que elija, para implantar la interpolación de
18.6 Repita los problemas 18.1 a 18.3, con el empleo del poli- Lagrange. Haga que se base en el seudocódigo de la figura 18.11.
nomio de Lagrange. Pruébelo con la duplicación del ejemplo 18.7.
18.7 Vuelva a hacer el problema 18.5 con el uso de polinomios 18.19 Una aplicación útil de la interpolación de Lagrange se
de Lagrange de órdenes 1 a 3. denomina búsqueda en la tabla. Como el nombre lo indica, in-
18.8 Emplee interpolación inversa con el uso de un polinomio de volucra “buscar” un valor intermedio en una tabla. Para desarro-
interpolación cúbico y de bisección, para determinar el valor de x llar dicho algoritmo, en primer lugar se almacena la tabla de los
que corresponde a f(x) = 0.23, para los datos tabulados que siguen:
valores de x y f(x) en un par de arreglos unidimensionales. Des-
pués, dichos valores se pasan a una función junto con el valor de
x 2 3 4 5 6 7
x que se desea evaluar. La función hace luego dos tareas. En
f (x) 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 1.1429 primer lugar, hace un ciclo hacia abajo de la tabla hasta que
encuentra el intervalo en el que se localiza la incógnita. Después
18.9 Utilice interpolación inversa para determinar el valor de x que aplica una técnica como la interpolación de Lagrange para de-
corresponde a f(x) = 0.85, para los datos tabulados siguientes: terminar el valor apropiado de f(x). Desarrolle una función así
con el uso de un polinomio cúbico de Lagrange para ejecutar la
x 0 1 2 3 4 5 interpolación. Para intervalos intermedios ésta es una buena
f (x) 0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538 elección porque la incógnita se localiza en e intervalo a la mitad

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