Page 604 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

580 ESTUDIO DE CASOS: AJUSTE DE CURVAS

Se requiere calcular k máx y K a partir de estos datos empíricos. Esto se logra invirtiendo
la ecuación (20.3) de manera similar a la ecuación (17.17) para obtener
1 K + f K 1 1
= = + (20.4)
k k f k f k
máx máx máx
Con esta manipulación se ha transformado la ecuación (20.3) a una forma lineal; es
decir, 1/k es una función lineal de 1/f, con pendiente K/k máx e intersección 1/k máx . Estos
valores se grafican en la figura 20.2.
A causa de dicha transformación, se pueden utilizar los métodos por mínimos cua-
–1
drados lineales, descritos en el capítulo 17, para determinar k máx = 1.23 días y K = 22.18
mg/L. Los resultados, combinados con la ecuación (20.3), se comparan con los datos no
transformados en la figura 20.3, y cuando se sustituyen en el modelo de la ecuación (20.1)
dan el resultado siguiente:
dp f
= 123. p (20.5)
dt 22 18. + f
Observe que el ajuste da una suma de los cuadrados de los residuos (como se calculó
con los datos no transformados) es de 0.001305.
La ecuación (20.5) se resuelve usando la teoría de las ecuaciones diferenciales o los
métodos numéricos que se analizan en el capítulo 25 cuando se conoce f(t). Si f se
aproxima a cero conforme p crece, entonces dp/dt se aproxima a cero y se estabiliza la
población.
La linealización de la ecuación (20.3) constituye una forma para evaluar las cons-
tantes k máx y K. Un procedimiento alternativo, que se ajusta a la relación en su forma
original, es la regresión no lineal descrita en la sección 17.5. La figura 20.4 muestra cómo
se emplea la herramienta Solver de Excel para estimar los parámetros con la regresión
no lineal. Como se observa, se desarrolla una columna de valores predichos basada en

FIGURA 20.2
Versión linealizada del
modelo de la velocidad de
crecimiento de saturación. 3
La línea es un ajuste por
mínimos cuadrados que
se utiliza para evaluar los
coefi cientes del modelo k máx 2 Pendiente = K
= 1.23 días y K = 22.18 1/k, día k máx
–1
mg/L para una levadura
que sirve para producir
cerveza. 1
1
Intersección =
k
máx
0 0.04 0.08 0.12 0.16
1/f, L/mg

6/12/06 13:58:56
Chapra-20.indd 580 6/12/06 13:58:56
Chapra-20.indd 580