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21.5 INTEGRALES MÚLTIPLES 643

TABLA 21.4 Fórmulas de integración abierta de Newton-Cotes. Las fórmulas se presentan en el formato de la
ecuación (21.5), de manera que sea aparente el peso de los datos para estimar la altura promedio.
El tamaño de paso está dado por h = (b – a)/n.
Segmentos
(n) Puntos Nombre Fórmula Error de truncamiento

3
2 1 Método del punto medio (– ) ( )b a f x 1 (1/3)h ƒ″(ξ)
fx + ( )
() fx
(– )b a 1 2
3 2 2 (3/4)h ƒ″(ξ)
3
() fx +
( )
2 fx + ( ) 2 fx
(– )b a 1 2 3
(4)
5
4 3 3 (14/45)h ƒ (ξ)
+
11 fx + ( fx 2 ) + ( fx 3 ) 11 ( fx 4 )
( ) 1
(– )b a
5
(4)
5 4 24 (95/144)h ƒ (ξ)
+
+
( ) 14
11 fx 1 + ( fx 2 ) + 26 ( fx 3 ) 14 ( fx 4 ) 11 ( fx 5 )
(– )b a
(6)
6 5 20 (41/140)h ƒ (ξ)
7
Así, no sólo permite la evaluación de datos con segmentos desiguales, sino que al
usar la información igualmente espaciada, se reduce al empleo de las reglas de Simpson.
De esta manera, representa un algoritmo básico, para todo propósito en la determinación
de la integral de datos tabulados.
21.4 FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN ABIERTA
De la figura 21.3b recuerde que las fórmulas de integración abierta tienen límites que se
extienden más allá del intervalo de los datos. La tabla 21.4 resume las fórmulas de inte-
gración abierta de Newton-Cotes. Las fórmulas se han expresado en la forma de la
ecuación (21.5) de manera que los factores de ponderación sean evidentes. Como en el
caso de las versiones cerradas, pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo orden
de error. Las fórmulas para segmentos pares y puntos impares son generalmente los
métodos de preferencia, ya que requieren menos puntos para alcanzar la misma precisión
que las fórmulas de segmentos impares y puntos pares.
Las fórmulas abiertas no se utilizan con frecuencia para la integración definida. No
obstante, como se verá en el capítulo 22, tienen utilidad para analizar integrales impro-
pias. Además, tendrán relevancia en nuestro análisis de los métodos de pasos múltiples,
para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias en el capítulo 26.
21.5 INTEGRALES MÚLTIPLES

Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una ecuación
general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como
sigue (recuerde la ecuación PT6.4):
⎞
⎛
d
c ⎝ ∫∫ b fx y dx dy
(, )
⎠
f = a (21.23)
c b a− )
( d − )(
Al numerador se le llama integral doble.

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