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PROBLEMAS 645

y
0 40 48 0 + 2(40) + 48
(8 – 0) 256
4

54 70 54 54 + 2(70) + 54
(8 – 0) 496
4

72 64 24 72 + 2(64) + 24
(8 – 0) 448
x 4

256 + 2(496) + 448
(6 – 0) = 2 688
4

FIGURA 21.17
Evaluación numérica de una integral doble usando la regla del trapecio con dos segmentos.

Solución. Primero, se usará la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión.
Las temperaturas en los valores x y y necesarios se representan en la figura 21.17. Ob-
serve que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa
analíticamente, cuyo resultado sería 58.66667.
Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del
trapecio a lo largo de la dimensión x con cada uno de los valores de y. Estos valores se
integran después a lo largo de la dimensión y para dar como resultado final 2 688. Di-
vidiendo éste entre el área se obtiene la temperatura promedio: 2 688/(6 × 8) = 56.
También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo
segmento. Esta integral da como resultado de 2 816 y un promedio de 58.66667, que es
exacto. ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfec-
tos con polinomios cúbicos. Como el término del grado mayor en la función es de se-
gundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto.
Para funciones algebraicas de grado superior, así como con funciones trascendentes,
será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la
integral. Además, el capítulo 22 presenta técnicas más eficientes que las fórmulas de
Newton-Cotes, para la evaluación de integrales de funciones dadas. Éstas con frecuencia
proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples.

PROBLEMAS

21.1 Evalúe la integral siguiente: = 2 y 4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e)
con la aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f)
0 ∫ ( 1− e − 2x ) dx con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8, y g) con apli-
4
cación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para los incisos
a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del b) a g), determine el error relativo porcentual de cada una de las
trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n estimaciones numéricas, con base en el resultado del inciso a).

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