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CAPÍTULO 22

Integración de ecuaciones

En la introducción de la parte seis destacamos que las funciones que vayan a integrarse de
manera numérica son principalmente de dos tipos: una tabla de valores o una función. La
forma de los datos tiene una influencia importante en los procedimientos que se utilizan
para evaluar la integral. Con información tabulada, se está limitando al número de puntos
que se tengan. En cambio, si se tiene la función, se pueden generar tantos valores de f(x)
como se requieran para alcanzar una exactitud aceptable (recuerde la figura PT6.7).
Este capítulo se ocupa de dos técnicas expresamente diseñadas para analizar los
casos donde se tiene la función. Ambas aprovechan la posibilidad de generar valores de
la función para desarrollar esquemas eficientes para la integración numérica. La prime-
ra se basa en la extrapolación de Richardson, que es un método que combina dos esti-
maciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto. El algoritmo
computacional para implementar de manera muy eficiente la extrapolación de Richard-
son se llama integración de Romberg. Esta técnica es recursiva y se utiliza para generar
una estimación de la integral dentro de una tolerancia de error preespecificada.
El segundo método se denomina cuadratura de Gauss. Recuerde que en el último
capítulo los valores de f(x) en las fórmulas de Newton-Cotes se determinaron para va-
lores específicos de x. Por ejemplo, si se utiliza la regla del trapecio para determinar una
integral, estamos restringidos a tomar el promedio ponderado de f(x) en los extremos
del intervalo. Las fórmulas de cuadratura de Gauss emplean valores de x que están entre
a y b, de forma que resulta una estimación mucho más exacta de la integral.
Además de estas dos técnicas estándar, dedicamos una sección final a la evaluación
de integrales impropias. En este análisis nos concentraremos en integrales con límites
finitos y en mostrar cómo un cambio de variable y de fórmulas de integración abierta
son útiles en tales casos.

22.1 ALGORITMOS DE NEWTON-COTES PARA ECUACIONES

En el capítulo 21 presentamos algoritmos para versiones de aplicación múltiple de la
regla del trapecio y de las reglas de Simpson. Aunque estos seudocódigos pueden usar-
se para analizar ecuaciones, en nuestro esfuerzo por hacerlos compatibles tanto con los
datos como con las funciones, no pueden aprovechar la ventaja de estas últimas.
La figura 22.1 muestra los seudocódigos que están expresamente diseñados para
casos donde la función es analítica. En particular, observe que ni los valores de la varia-
ble independiente, ni de la dependiente se pasan a la función por medio de su argumento,
como fue el caso para los códigos del capítulo 21. Para la variable independiente x, se da
el intervalo de integración (a, b) y el número de segmentos. Esta información se em-
plea después para generar valores igualmente espaciados de x dentro de la función. Para
la variable dependiente, los valores de la función en la figura 22.1 se calculan llamando
a la función que está analizándose, f(x).

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