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736 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

que está más cerca a la pendiente promedio verdadera, 4.1946. Dicho resultado se sus-
tituye en el corrector [ecuación (25.16)] para obtener la predicción en x = 1:

y = 2 + 4.701082(1) = 6.701082
1
que representa un error relativo porcentual de –8.18%. Así, el método de Heun sin ite-
ración del corrector reduce el valor absoluto del error en un factor de 2.4 en comparación
con el método de Euler.
sustitu-
Ahora dicho estimado se utiliza para mejorar o corregir la predicción de y 1
yendo el nuevo resultado en el lado derecho de la ecuación (25.16):

.(
y =+ [ 3+ e 4 08 1) − 0 5 6 701082 ].( . ) 1 6 275811= .
2
1
2
que representa un error relativo porcentual absoluto del 1.31%. El resultado, a su vez, se
sustituye en la ecuación (25.16) para corregir aún más:

.(
y =+ [ 3+ e 4 08 1) − 0 5 6 275811 ].( . ) 1 6 382129= .
2
1
2
que representa un ⏐e⏐ de 3.03%. Observe cómo los errores algunas veces crecen con-
t
forme se llevan a cabo las iteraciones. Tales incrementos pueden ocurrir especialmente
con grandes tamaños de paso, y nos previenen de llegar a una conclusión general errónea
de que siempre una iteración más mejorará el resultado. No obstante, con tamaños de
paso lo suficientemente pequeños, las iteraciones, a la larga, deberán converger a un solo
valor. En nuestro caso, 6.360865, que representa un error relativo de 2.68%, que se ob-
tiene después de 15 iteraciones. La tabla 25.2 presenta los resultados del resto de los
cálculos usando el método con 1 y 15 iteraciones por paso.

En el ejemplo anterior, la derivada es una función tanto de la variable dependiente
y como de la variable independiente x. En situaciones como los polinomios, donde la
EDO es únicamente función de la variable independiente, no se requiere el paso predic-
tor [ecuación (25.16)] y el corrector se aplica sólo una vez en cada iteración. En tales
casos, la técnica se expresa en forma concisa como sigue:

fx )
()
i
y = y + fx + ( i+1 h (25.18)
i+1 i
2
Observe la similitud entre el lado derecho de la ecuación (25.18) y la regla del trapecio
[ecuación (21.3)]. La relación entre los dos métodos se puede demostrar formalmente
empezando con la ecuación diferencial ordinaria:
dy
= fx()
dx

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