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25.2 MEJORAS DEL MÉTODO DE EULER 737

De esta ecuación se obtiene y por integración:

∫ y i+1 dy = ∫ x i+1 f x dx() (25.19)
y i x i

cuyo resultado es:

y − y = ∫ x i+1 f x dx() (25.20)
i+1 i
x i
o

y = y + ∫ x i+1 f x dx() (25.21)
i+1 i
x i
Ahora, del capítulo 21 recuerde que la regla del trapecio [ecuación (21.3)] se define
como:

∫ x i+1 fx dx ≅ fx + ( i+1 h (25.22)
fx )
()
i
()
x i 2
donde h = x – x . Sustituyendo la ecuación (25.22) en la (25.21) se tiene:
i
i+1
fx )
()
fx + (
y i+1 = y + i i+1 h (25.23)
i
2
que es equivalente a la ecuación (25.18).
Como la ecuación (25.23) es una expresión directa de la regla del trapecio, el error
de truncamiento local está dado por [recuerde la ecuación (21.6)]:
f ′′() ξ
E =− h 3 (25.24)
t
12
donde x está entre x i y x i+1 . Así, el método es de segundo orden porque la segunda deri-
vada de la EDO es cero mientras que la solución verdadera es una cuadrática. Además,
3
2
los errores local y global son O(h ) y O(h ), respectivamente. Entonces, al disminuir el
tamaño de paso se disminuye el error más rápido que en el método de Euler. La figura
25.11, que muestra el resultado usando el método de Heun para resolver el polinomio del
ejemplo 25.1, demuestra dicho comportamiento.

25.2.2 Método del punto medio (o del polígono mejorado)
La figura 25.12 ilustra otra modificación simple del método de Euler. Conocida como
método del punto medio (o del polígono mejorado o el modificado de Euler), esta téc-
nica usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo
(figura 25.12a):

y = y + f x y(, ) h (25.25)
i+12/ i i i
2

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