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28.2 MODELOS DEPREDADOR-PRESA Y CAOS 831

donde k = una velocidad de la reacción y n = el orden de la reacción. Los ingenieros quí-
micos utilizan datos de concentración contra tiempo como los que se presentan en la figu-
ra 28.4 para estimar k y n. Una manera de hacerlo es suponer valores de los parámetros y
después resolver numéricamente la ecuación (28.3). Los valores pronosticados de concen-
tración se comparan con las concentraciones medidas y se realiza la valoración del ajuste.
Si el ajuste se considera inadecuado (por ejemplo, al examinar una gráfica o una medición
estadística como la suma de los cuadrados de los residuos), los valores pronosticados se
ajustan y se repite el procedimiento hasta que se alcanza un ajuste apropiado.
Los siguientes datos se ajustan de la siguiente manera:

t, d 0 1 3 5 10 15 20
c, mg/L 12 10.7 9 7.1 4.6 2.5 1.8

La solución a este problema se muestra en la figura 28.5. Se utilizó una hoja de cálculo
de Excel para realizar el cálculo.
Se introducen valores iniciales de la velocidad de reacción y del orden de reacción
en las celdas B3 y B4, respectivamente, el tamaño de paso para el cálculo numérico se
teclea en la celda B5. En este caso, se introduce una columna con el tiempo de los cál-
culos en la columna A, comenzando en 0 (celda A7) y terminando en 20 (celda A27).
Los coeficientes desde k hasta k del método RK de cuarto orden se calculan en el
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bloque B7..E27. Éstos se usan ahora para determinar las predicciones de las concentra-
ciones (los valores c ) en la columna F. Los valores medidos (c ) se introducen en la
p m
columna G adyacente a la columna de predicciones correspondientes, las cuales se uti-
lizan después, conjuntamente, para calcular las diferencias elevadas al cuadrado en la
columna H. Por último, estos valores se suman en la celda H29.
Aquí, el Solver de Excel se utiliza para determinar los mejores valores de los paráme-
tros. Una vez que usted haya entrado al Solver, se le pide una celda objetivo o
solución (H29); además se le pregunta si usted quiere maximizar o minimizar la celda
objetivo (minimizar), y que dé las celdas que se van a variar (B3..B4). Después, usted
activa el algoritmo [s(olve)], y los resultados son como los de la figura 28.5. Como se
muestra, los valores de las celdas B3..B4 (k = 0.091528 y n = 1.044425) minimizan la suma
de los cuadrados de las diferencias (SSR = 0.155062) entre los datos de predicción y los
datos medidos. En la figura 28.6 se presenta una gráfica del ajuste junto con los datos.

28.2 MODELOS DEPREDADOR-PRESA Y CAOS
(INGENIERÍA CIVIL/AMBIENTAL)

Antecedentes. Los ingenieros ambientales modelan diversos problemas que implican
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. En esta sección nos concen-
traremos en dos de estos problemas. El primero se relaciona con los modelos llamados
depredador-presa, que se utilizan en el estudio de ciclos de nutrientes y contaminantes
tóxicos en las cadenas alimenticias acuáticas, y de sistemas de tratamiento biológicos.
El segundo son ecuaciones obtenidas de la dinámica de fluidos, que se utilizan para
simular la atmósfera. Además de sus obvias aplicaciones en el pronóstico del tiempo,
tales ecuaciones también son útiles para estudiar la contaminación del aire y el cambio
climático mundial.

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