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834 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

y = 1 en t = 0, e integre desde t = 0 hasta 30. Usaremos el método RK de cuarto orden
con doble precisión para obtener las soluciones.
En la figura 28.7 se muestran los resultados usando un tamaño de paso de 0.1. Ad-
vierta que surge un patrón cíclico. Así, como inicialmente la población del depredador
es pequeña, la presa crece de manera exponencial. En cierto momento, las presas son
tan numerosas que la población del depredador empieza a crecer. Después el aumento
de depredadores causa que la presa disminuya. Esta disminución, a su vez, lleva a una
disminución de los depredadores. Con el tiempo, el proceso se repite. Observe que, como
se esperaba, el pico en la curva para el depredador se retrasa respecto al de la presa.
Además, observe que el proceso tiene un periodo fijo; es decir, se repite cada cierto
tiempo.
Ahora, si se cambiaran los parámetros usados para simular la figura 28.7, aunque
el patrón general seguirá siendo el mismo, las magnitudes de los picos, retrasos y perio-
dos cambiarán. Así, existe un número infinito de ciclos que podrán ocurrir.
Una representación estado-espacio es útil para distinguir la estructura fundamental
del modelo. En lugar de graficar x y y contra t, se grafica x contra y. Esta gráfica ilustra
la manera en que interactúan las variables de estado (x y y) y se le conoce como una
representación estado-espacio.
En la figura 28.8 se muestra la representación estado-espacio del caso que estamos
estudiando. La interacción entre el depredador y la presa define una órbita cerrada en
sentido derecho. Observe que hay un punto crítico o de reposo en el centro de la órbita.
La localización exacta de este punto se determina poniendo las ecuaciones (28.4) y (28.5)
en estado estacionario (dy/dt = dx/dt = 0) y resolviendo para (x, y) = (0, 0) y (c/d, a/b).
La primera es el resultado trivial, si empezamos sin depredador y sin presa, no sucede-
rá nada. La segunda es el resultado más interesante si las condiciones iniciales se con-
sideran como x = c/d y y = a/b en t = 0, la derivada será cero y las poblaciones
permanecerán constantes.
Ahora, utilicemos el mismo procedimiento para investigar el comportamiento de
las ecuaciones de Lorenz con los siguientes valores de los parámetros: σ = 10, b =
2.666667 y r = 28. Emplee como condiciones iniciales x = y = z = 5 en t = 0, e integre
desde t = 0 hasta 20. De nuevo, usaremos el método RK de cuarto orden con doble pre-
cisión para obtener las soluciones.
Los resultados mostrados en la figura 28.9 son muy diferentes al comportamiento
de las ecuaciones de Lotka-Volterra. La variable x parece experimentar un patrón casi

FIGURA 28.7
Representación en el
dominio del tiempo de 8 x, presa
los números de presas y, depredador
y depredadores con el
modelo de Lotka-Volterra. 4

0
0 10 20 30 t

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