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828 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Suponga que en t = 0 todas las concentraciones en los reactores son cero. Calcule
cómo aumentarán sus concentraciones en la siguiente hora.
Las ecuaciones se integran con el método RK de cuarto orden para un sistema de
ecuaciones, y los resultados se ilustran en la figura 28.3. Observe que cada uno de los
reactores muestra una respuesta transitoria diferente a la entrada de la sustancia quími-
ca. Esas respuestas se parametrizan mediante un tiempo de respuesta para 90%, t , el
90
cual mide el tiempo requerido por cada reactor para alcanzar 90% de su último nivel en
estado estacionario. El intervalo de tiempos va desde cerca de 10 minutos en el reactor
3 hasta aproximadamente 70 minutos en el reactor 5. Los tiempos de respuesta de los
reactores 4 y 5 son de particular interés, ya que los dos flujos de salida del sistema salen
de esos tanques. Así, un ingeniero químico que esté diseñando el sistema podrá cambiar
los flujos o volúmenes de los reactores, para acelerar la respuesta de estos tanques man-
teniendo las salidas deseadas. Los métodos numéricos del tipo que se describen en esta
parte del libro son útiles para realizar estos cálculos de diseño.
Una mejor comprensión de las características de respuesta del sistema se obtiene
calculando sus valores propios. Primero, el sistema de EDO se escribe como un proble-
ma de valores propios:

⎡ 012. − λ 0 − 002. 0 0 ⎤⎧e 1 ⎫
⎢ − − λ ⎥⎪ ⎪
e
⎢ 0 15. 0 15. 0 0 0 ⎥⎪ ⎪
2
⎪ ⎪
⎢ 0 − 0 025. 0 225. − λ 0 0 ⎥ e 3⎬ = 0 {}
⎨
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
e
⎢ 0 0 − 0 1. 0 1375. − λ − 0 025. ⎥ ⎪ ⎪
4
⎢ ⎣ − 003. − 001. 0 0 004. − ⎥ ⎪ ⎪
λ
e
5⎭
⎦⎩
donde l y {e} = los valores propios y los vectores propios, respectivamente.
Un paquete como MATLAB se utiliza para generar fácilmente los valores propios
y los vectores propios.
>> a=[0.12 0.0 –0.02 0.0 0.0;–.15 0.15 0.0 0.0 0.0;0.0
–0.025 0.225 0.0 0.0; 0.0 0.0 –.1 0.1375 –0.025; –0.03 –0.01
0.0 0.0 0.04];
>> [e,l]=eig(a)
e =

0 0 –0.1228 –0.1059 0.2490
0 0 0.2983 0.5784 0.8444
0 0 0.5637 0.3041 0.1771
1.0000 0.2484 –0.7604 –0.7493 0.3675
0 0.9687 0.0041 –0.0190 –0.2419
l =
0.1375 0 0 0 0
0 0.0400 0 0 0
0 0 0.2118 0 0
0 0 0 0.1775 0
0 0 0 0 0.1058

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