Page 862 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

838 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

donde p = 1/ LC . Los valores de q y dq/dt son cero para t = 0. Utilice un procedi-
miento numérico para resolver las ecuaciones (28.9) y (28.10), y compare los resultados
con la ecuación (28.11).

Solución. Este problema comprende un intervalo de integración bastante amplio y
requiere de un esquema de gran exactitud para resolver la ecuación diferencial, si se
esperan buenos resultados. Supongamos que L = 1 H, E = 1 V, C = 0.25 F, y ω = 3.5
2
0
2
s . Esto da p = 2, y la ecuación (28.11) se convierte en
q(t) = –1.8708 sen (2t) + 2 sen (1.8708t)
para la solución analítica. La gráfica de esta función se muestra en la figura 28.12. La
naturaleza cambiante de la función exige necesariamente de un procedimiento numéri-
co para encontrar q(t). Además, como la función exhibe una naturaleza periódica que
varía lentamente, así como una variación rápida, se necesitan intervalos de integración
largos para encontrar la solución. Por estas razones se espera que un método de orden
superior sea el adecuado para este problema.
Sin embargo, podemos probar tanto el método de Euler como el RK de cuarto orden
y comparar los resultados. Usando un tamaño de paso de 0.1 s, se obtiene un valor de q
en t = 10 s de –6.638, con el método de Euler; y un valor de –1.9897, con el método RK
de cuarto orden. Estos resultados se comparan con una solución exacta de –1.996 C.
En la figura 28.13 se muestran los resultados de la integración de Euler cada 1.0 s
comparada con la solución exacta. Observe que sólo se grafica cada décimo punto de
salida. Note que el error global aumenta conforme t aumenta. Este comportamiento
divergente se intensifica conforme t se aproxima al infinito.
Además, para simular directamente una respuesta transitoria de una red, los méto-
dos numéricos también se utilizan para determinar sus valores propios. Por ejemplo, en

FIGURA 28.12
Pantalla de computadora donde se muestra la gráfi ca de la función obtenida en la ecuación
(28.11).

Capacitor
6.0

4.0

2.0
Corriente 0

–2.0
–4.0

–6.0
0 20 40 60 80 100
Tiempo

6/12/06 14:03:39
Chapra-28.indd 838 6/12/06 14:03:39
Chapra-28.indd 838