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29.3 CONDICIONES EN LA FRONTERA 875

29.3 CONDICIONES EN LA FRONTERA

Debido a que está libre de complicaciones, la placa rectangular con condiciones de
frontera fijas representa un ideal para mostrar cómo se resuelven numéricamente las
EDP elípticas. Ahora veremos otro problema que ampliará nuestras habilidades para
abordar problemas más realistas. Éste considera fronteras en donde se especifica la
derivada, y fronteras que tienen forma irregular.

29.3.1 Condiciones con derivada en la frontera

La condición de frontera fija o de Dirichlet analizada hasta ahora es uno de los diferen-
tes tipos usados en las ecuaciones diferenciales parciales. Una alternativa común es el
caso donde se da la derivada, que se conoce comúnmente como una condición de fron-
tera de Neumann. En el problema de la placa calentada, esto corresponde a especificar
el flujo de calor, más que la temperatura en la frontera. Un ejemplo es la situación don-
de el extremo está aislado. En tal caso, referido como condición de frontera natural, la
derivada es cero. Esta conclusión se obtiene directamente de la ecuación (29.4), ya que
aislar una frontera significa que el flujo de calor (y, en consecuencia, el gradiente) debe
ser cero. Otro ejemplo sería el caso donde se pierde calor a través del extremo por me-
canismos predecibles, tales como radiación y conducción.
En la figura 29.7 se muestra un nodo (0, j) en el extremo izquierdo de una placa
calentada. Aplicando la ecuación (29.8) en este punto, se obtiene
T + T + T + T – 4T = 0 (29.19)
1,j –1,j 0,j+1 0,j–1 0,j
Observe que para esta ecuación se necesita un punto imaginario (–1, j) que esté fuera de
la placa. Aunque este punto exterior ficticio podría parecer que representa un problema,
realmente sirve para incorporar la derivada de la condición de frontera en el problema,
lo cual se logra representando la primera derivada en la dimensión x en (0, j) por la di-
ferencia dividida finita
FIGURA 29.7
Un nodo frontera (0, j) en
el extremo izquierdo de ∂T ≅ T – T 1 – j ,
j
1,
una placa calentada. Para ∂x 2 ∆ x
aproximar la derivada
normal al extremo (es decir, donde se puede despejar
la derivada x), se localiza
un punto imaginario (–1, j) = T – 2 ∆ ∂ T
a una distancia ∆x más allá T –,1 j j , 1 x x ∂
del extremo.
Ahora se tiene una relación para T que incluye la derivada. Esta relación se sustituye
–1,j
en la ecuación (29.19) para obtener
T 0, j + 1
∂ T
2T – 2 x∆ + T + T – 4T = 0 (29.20)
1 j, x ∂ 0 j, + 1 0 j, – 1 0 j,
T –1, j T 0, j T 1, j Así, hemos incorporado la derivada en la ecuación.
Es posible desarrollar relaciones similares para las condiciones de frontera con
derivadas en los otros extremos. El siguiente ejemplo muestra cómo llevarlo a cabo en
T 0, j – 1
la placa calentada.

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