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876 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES ELÍPTICAS

EJEMPLO 29.3 Placa calentada con un extremo aislado
Planteamiento del problema. Repita el mismo problema del ejemplo 29.1, pero con
el extremo inferior aislado.
Solución. La ecuación general que caracteriza una derivada en el extremo inferior (es
decir, en j = 0) en una placa calentada es
∂ T
T i+10, + T i 10– , + 2 T – ∆ y y ∂ – 4 T = 0
2
i 0,
i 1,
En el extremo aislado, la derivada es cero y la ecuación se convierte en
T + T + 2T – 4T = 0
i+1,0 i–1,0 i,1 i,0
Las ecuaciones simultáneas para la distribución de temperatura en la placa de la figura
29.4 con un extremo inferior aislado se escribe en forma matricial como

⎡ 4 1 – 2 – ⎤⎧T 10 ⎫ ⎧ 75 ⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 – 4 – 1 – 2 ⎥⎪ T 20 ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎢ 1 – 4 2 – ⎥⎪T ⎪ ⎪ 50 ⎪
⎢ ⎥⎪ 30 ⎪ ⎪ ⎪
T
⎢ 1 – 4 1 – 1 – ⎥⎪ 11 ⎪ ⎪ 75 ⎪
⎢ 1 – 1 – 4 1 – 1 – ⎥⎪T ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎢ ⎥⎪ 21 ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 – – 1 4 1 – ⎥⎪ T 31 ⎪ ⎪ 50 ⎪
⎢ 1 – 4 – 1 – 1 ⎥ ⎨ T ⎬ = ⎨ 75 ⎬
⎢ ⎥ ⎪ 12 ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎢ 1 – 1 – 4 1 – 1 – ⎥ T 22 ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
T
⎢ 1 – 1 – 4 1 – ⎥ ⎪ 32 ⎪ ⎪ 50 ⎪
⎪
⎢ 1 – 4 – 1 ⎥ T ⎪ ⎪ 175 ⎪
⎢ ⎥ ⎪ 13 ⎪ ⎪ ⎪
T
⎥
⎢ 1 – 1 – 4 1 – ⎪ 23 ⎪ ⎪ 100 ⎪
⎢ ⎣ 1 – 1 – 4 ⎥⎥ ⎪ T ⎪ ⎪ 150 ⎪
⎭
⎩
⎭
⎦⎩ 33
Observe que, debido a las derivadas en las condiciones de frontera, la matriz aumentó
de tamaño a 12 × 12, a diferencia del sistema de 9 × 9 de la ecuación (29.10), para con-
siderar las tres temperaturas desconocidas del extremo inferior de la placa. De estas
ecuaciones se obtiene
T = 71.91 T = 67.01 T = 59.54
10 20 30
T = 72.81 T = 68.31 T = 60.57
11 21 31
T = 76.01 T = 72.84 T = 64.42
12 22 32
T = 83.41 T = 82.63 T = 74.26
13 23 33
Esos resultados y los flujos calculados (con los mismos parámetros que en el ejemplo
29.2) se muestran en la figura 29.8. Observe que, debido a que el extremo inferior está
aislado, la temperatura de la placa es más alta que en la figura 29.5, donde la temperatu-
ra del extremo inferior se fijó en cero. Además, el flujo de calor (a diferencia de la figura
29.6) ahora está desviado a la derecha y se mueve paralelamente a la pared aislada.

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