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878 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES ELÍPTICAS

Observe que tenemos parámetros adicionales (a , a , b , b ) en cada una de las longitu-
1 2 1 2
des que rodean al nodo. Por supuesto que, para la placa mostrada en la figura 29.9, a =
2
b = 1. Conservaremos estos parámetros en la siguiente deducción, de tal modo que la
2
ecuación resultante sea aplicable a cualquier frontera irregular (y no sólo a la esquina
inferior izquierda de una placa calentada). Las primeras derivadas en la dimensión x se
aproximan como sigue
∂ ⎞
⎛ T T – T i– ,1 j
⎜ ⎟ ≅
ij,
∂ ⎠
⎝ x α ∆ x (29.21)
i–,1 i 1
y
∂ ⎞
⎛ T T + i 1 j , – T i j,
⎜ ⎟ ≅ (29.22)
∂ ⎠
⎝ x ii, +1 α ∆ x
2
Las segundas derivadas se obtienen a partir de estas primeras derivadas. Para la dimen-
sión x, la segunda derivada es
∂ ⎞
∂ ⎞
⎛ T ⎟ – ⎛ T ⎟
⎜
⎜
∂ ⎠
∂ ⎠
∂ ⎞
2
∂ T = ∂ ⎛ T ⎟ = ⎝ x ii, +1 ⎝ x i– 1 i,
⎜
∂ ⎠
x
∂x 2 ∂ ⎝ x α ∆ x +α ∆ x (29.23)
1
2
2
Sustituyendo las ecuaciones (29.21) y (29.22) en la (29.23), obtenemos
T i–, 1 j – T ij, – T i +1 j, – T ij,
2
∂ T α ∆ x α ∆ x
1
2
= 2
∂x 2 α ∆ x +α ∆ x
2
1
Agrupando términos,
2
∂ T = 2 ⎡ T i–, 1 j – T ij, + T i +1 j, – T ij, ⎤ ⎥
⎢
∂x 2 ∆ x 2 ⎣ αα 1 +α 2 ) α 2 (α 1 +α 2 ) ⎦
(
1
Es posible desarrollar una ecuación similar en la dimensión y:
2
∂ T = 2 ⎡ T ij,– 1 – T ij, + T ij, +1 – T ij, ⎤ ⎥
⎢
∂y 2 ∆ y 2 ⎣ β 1 (β 1 + β 2 ) β 2 (β 1 + β 2 ) ⎦
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación (29.6), obtenemos
2 ⎡ T i–, 1 j – T ij, T i+ 1 j, – T ij, ⎤
2 ⎢ + ⎥
∆x ⎣ αα + α 2 ) α 2 (α + α 2 ⎦
(
)
1
1
1
+ 2 ⎡ T ij,– 1 – T ij, + T ij, +1 – T ij, ⎤ ⎥ = 0 (29.24)
⎢
(
∆y 2 ⎣ ββ 1 + β 2 ) β 2 (β 1 + β 2 ) ⎦
1
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