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908 MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

La figura 31.3 muestra la función de forma junto con las funciones de interpolación
Nodo 1 Nodo 2 correspondientes. Observe que la suma de las funciones de interpolación es igual a uno.
Además, el hecho de que estemos tratando con ecuaciones lineales facilita las ope-
a)
raciones como la diferenciación y la integración. Tales manipulaciones serán importan-
tes en secciones posteriores. La derivada de la ecuación (31.2) es
u
u 1
du dN 1 dN 2
u 2 dx = dx u + dx u 2 (31.5)
1
De acuerdo con las ecuaciones (31.3) y (31.4), las derivadas de las N se calculan como
b) sigue

1 N 1 dN 1 =− 1 dN 2 = 1
dx x − x dx x − x (31.6)
2 1 2 1
y, por lo tanto, la derivada de u es
c)
du 1
N 2 1 = − ( u + u ) (31.7)
2
1
dx x − x 1
2
En otras palabras, es una diferencia dividida que representa la pendiente de la línea
recta que une los nodos.
x 1 x 2
La integral se expresa como
d)
∫ x 2 udx = ∫ x 2 N u + N u dx
2 2
11
FIGURA 31.3 x 1 x 1
b) Una aproximación lineal
o función de forma para Cada uno de los términos del lado derecho es simplemente la integral de un triángulo
a) un elemento lineal. Las rectángulo con base x – x y altura u. Es decir,
2
1
funciones de interpolación x 2 1
correspondientes se ∫ Nu dx = ( x − x u)
2
1
muestran en c) y d). x 1 2
Así, la integral completa es
∫ x 2 udx = u + u 2 ( x − x ) (31.8)
1
1
2
x 1 2
En otras palabras, esto es simplemente la regla del trapecio.
Obtención de un ajuste óptimo de la función a la solución. Una vez que se ha
elegido la función de interpolación, se debe desarrollar la ecuación que rige el compor-
tamiento del elemento. Esta ecuación representa un ajuste de la función a la solución
de la ecuación diferencial de que se trate. Existen varios métodos para este propósito;
entre los más comunes están el método directo, el método de los residuos ponderados
y el método variacional. Los resultados de todos estos métodos son análogos al ajuste
de curvas. Sin embargo, en lugar de ajustar funciones a datos, estos métodos especifican
relaciones entre las incógnitas de la ecuación (31.2) que satisfacen de manera óptima
la EDP.

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