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CAPÍTULO 31

Método del elemento fi nito

Hasta aquí hemos empleado métodos por diferencias finitas para resolver ecuaciones
diferenciales parciales. En estos métodos, el dominio de la solución se divide en una
malla con puntos discretos o nodos (figura 31.1b). Entonces, se aplica la EDP en cada
nodo, donde las derivadas parciales se reemplazan por diferencias finitas divididas.
Aunque tal aproximación por puntos es conceptualmente fácil de entender, tiene varias
desventajas. En particular, es difícil de aplicar a sistemas con una geometría irregular,
con condiciones de frontera no usuales o de composición heterogénea.
El método del elemento finito ofrece una alternativa que es más adecuada para tales
sistemas. A diferencia de las técnicas por diferencias finitas, la técnica del elemento
finito divide el dominio de la solución en regiones con formas sencillas o “elementos”
(figura 31.1c). Se puede desarrollar una solución aproximada de la EDP para cada uno
de estos elementos. La solución total se genera uniendo, o “ensamblando”, las soluciones
individuales, teniendo cuidado de asegurar la continuidad de las fronteras entre los
elementos. De este modo, la EDP se satisface por secciones.
Como se observa en la figura 31.1c, el uso de elementos, en lugar de una malla
rectangular, proporciona una mejor aproximación para sistemas con forma irregular.
Además, se pueden generar continuamente valores de las incógnitas a través de todo el
dominio de la solución en lugar de puntos aislados.

FIGURA 31.1
a) Un empaque con geometría irregular y composición no homogénea. b) Un sistema así es muy difícil de modelar con la
técnica por diferencias fi nitas. Esto se debe al hecho de que se necesitan aproximaciones complicadas en las fronteras del
sistema y en las fronteras entre las regiones de diferente composición. c) Una discretización por elementos fi nitos es mucho
más adecuada para tales sistemas.

Material A

Material B

Material C

a) b) c)

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